Материалът, направен от каучук, не работи съгласно закона на Хук. На тази страница изучаваме поведението на балон, напомпан с газ He.

Разглеждаме случая с балон, който се запълва с хелий газ на морското равнище и се освобождава. Ще проучим движението на възнесението на земното кълбо.

Това е пример, който интегрира динамиката на частиците, флуидите и термодинамиката

Натиск вътре в балон

Когато недеформиран балон с радиус r0 се надуе до радиус r> r0, повърхността на балона придобива еластична енергия поради деформацията. Изразът на еластичната енергия, когато балонът е в среда при температура Т е

U = 4 π r 0 2 k R T (2 r 2 r 0 2 + r 0 4 r 4 - 3)

където k е константа в единици mol/m 2, R = 8.3143 J/(K mol) е газовата константа .

Работата, необходима за увеличаване на радиуса на балона от ra r + dr под действието на разлика в налягането ΔP между вътрешната Pint и външната Pext, е продукт на разликата в налягането ΔP и увеличаването на обема d V = d (4 3 π r 3) = 4 π r 2 д-р

Тази работа се инвестира в увеличаване на еластичната енергия на повърхността на балона.

d W = (d U dr) dr = 16 π k RT (r - r 0 6 r 5) dr 4 π r 2 Δ ​​P dr = 16 π k RT (r - r 0 6 r 5) dr Δ P = 4 k RT r 0 (r 0 r - r 0 7 r 7) P int ⁡ - P ext = 4 k RT r 0 (1 λ - 1 λ 7) λ = rr 0

Фигурата показва графиката на функцията

f (λ) = (1 λ - 1 λ 7)

издигащ

Разликата в налягането нараства бързо с коефициента λ = r/r0, достига максимум и след това намалява като 1/λ за големи стойности на λ.

Получаваме крайността на функцията, като производната на функцията f (λ) е равна на нула

- 1 λ 2 + 7 1 λ 8 = 0 λ 6 = 7 λ = 1.383

Надуване на балона

Първоначално балонът е в среда при атмосферно налягане Pext = P0 и при температура T0, той съдържа n0 мола хелиев газ и радиусът му е r0. Налягането на газа вътре в балона е P0. Уравнението на идеалния газ е

P 0 4 3 π r 0 3 = n 0 R T 0

Свързваме балона с газова бутилка, която го снабдява с Δn бенки. Броят на моловете газ в балона е n = n0 + Δn. Налягането в сферичния балон с радиус r е P.

От уравнението на идеалния газ, което имаме

P 4 3 π r 3 = n R T 0 = n n 0 P 0 4 3 π r 0 3 P λ 3 = P 0 n n 0

Тъй като разликата в налягането между вътрешната и външната част на балона е

P - P 0 = 4 k R T 0 r 0 (1 λ - 1 λ 7)

Комбинирайки тези две уравнения, изчисляваме радиуса λ = r/r0 на балона

n n 0 1 λ 3 - 1 = 16 π k r 0 2 3 n 0 (1 λ - 1 λ 7)

реалният корен на полинома

λ 7 + b λ 6 - a λ 4 - b = 0 a = n n 0 b = 16 π k r 0 2 3 n 0

След като λ е изчислена, по някаква числена процедура, разликата в налягането между вътрешната и външната страна на балона е

Δ P = P 0 16 π k r 0 2 3 n 0 (1 λ - 1 λ 7)

Пример.

  • Атмосферно налягане, P0 = 101300 Pa
  • Температура на околната среда, T0 = 30º = 303 K
  • Начален радиус на балона r0 = 42 cm
  • Зададена е стойността на константата k = 0,46235

Брой начални мола газ

P 0 4 3 π r 0 3 = n 0 R T 0 n 0 = 12.5

Всеки път, когато инжекционната помпа се включи, съдържащият се в балона газ се увеличава с 5 мола.

За да изчислите новия радиус на земното кълбо, трябва да решите уравнението

λ 7 + b λ 6 - a λ 4 - b = 0 a = 12,5 + i · 5 12,5 b = 16 π · 0,4623 · 0,42 2 3 · 12,5 = 0,10931 i = 1,2,3. Δ P = 101300 · 0,10931 (1 λ - 1 λ 7) = 11073,1 (1 λ - 1 λ 7) Pa

по някаква числена процедура и след това ще изчислим разликата в налягането ΔP между вътрешната и външната страна на балона.

Получаваме налягането в cm вода, умножавайки h по две, както виждаме в симулацията по-долу

Дейности

Бутонът е озаглавен Ново

Бутонът е озаглавен Започва

5 мола газ се инжектират в балона

Интерактивната програма изчислява радиуса r на балона в cm и разликата в налягането ΔP между вътрешната и външната страна на балона в Pa. Манометърът измерва разликата в налягането в cm вода. Например, разликата в налягането от 4473,3 Pa е еквивалентна на

Δ P ρ g = 4473,3 1000 9,8 = 0,4564 m = 2 22,8 cm

Бутонът е озаглавен Започва и балонът се надува с още 5 мола газ и така нататък.

Балон, който се издига

Сферичният балон е изпълнен с n мола газ хелий на морското равнище, където налягането е P0, а температурата е T0. Ако Pint е налягането в балона

P int ⁡ 4 3 π r 3 = n R T 0

Разликата в налягането между вътрешната и външната страна на балона е

P int ⁡ - P 0 = 4 k R T 0 r 0 (1 λ - 1 λ 7) λ = r r 0

Радиусът на земното кълбо на морското равнище е коренът на уравнението

λ 7 + b λ 6 - a λ 4 - b = 0 a = n n 0 b = 16 π k r 0 2 3 n 0

Изменение на налягането с височина в линейна атмосфера

Ще приемем, че температурата T намалява линейно с височината и.

T = T 0 (1 - y y 0)

Изменението на налягането с височината се извежда от основното уравнение на статиката на флуида

до уравнението на идеалния газ

P V = m M A R T P = ρ M A R T

където MA = 0,0289 kg/mol е молекулната маса на въздуха.

d P = - PMA gy 0 RT 0 1 y 0 - ydy ∫ P 0 P d PP = - MA gy 0 RT 0 ∫ 0 y 1 и 0 - ydy ln ⁡ PP 0 = η (ln ⁡ (y 0 - y) - ln ⁡ y 0) η = MA gy 0 RT 0 P = P 0 (1 - yy 0) η

  • MA = 0,0289 kg/mol е молекулната маса на въздуха.
  • R = 8,3143 J/(K mol) е газовата константа .
  • За да коригираме линейната зависимост на температурата T с височината и определен ден от годината, вземаме T0 = 303 K на морското равнище и y0 = 49 km = 49000 m

Когато балонът се издига, разликата в налягането между вътрешната и външната се увеличава и следователно радиусът на балона се променя.

На височина и налягането е P, а температурата е T. За изчисляване на новия радиус на земното кълбо използваме уравнения, подобни на тези, използвани за изчисляване на радиуса на земното кълбо на морското равнище.

P int ⁡ 4 3 π r 3 = n R T P int ⁡ - P = 4 k R T r 0 (1 λ - 1 λ 7) λ = r r 0

Получаваме уравнението

3 n RT 0 (1 - yy 0) 4 π r 3 - P 0 (1 - yy 0) η = 4 k RT 0 (1 - yy 0) r 0 (1 λ - 1 λ 7) nn 0 P 0 λ 3 (1 - yy 0) - P 0 (1 - yy 0) η = 16 π k P 0 r 0 2 3 n 0 (1 - yy 0) (1 λ - 1 λ 7) nn 0 1 λ 3 - ( 1 - yy 0) η - 1 = 16 π kr 0 2 3 n 0 (1 λ - 1 λ 7) (1 - yy 0) η - 1 λ 7 + b λ 6 - a λ 4 - b = 0 a = nn 0 b = 16 π kr 0 2 3 n 0

Решавайки това уравнение получаваме радиус r на балона или λ, на височина y.

Когато y = 0 на морското равнище получаваме уравнението от предишния раздел.

  • MA = 0,0289 kg/mol е молекулната маса на въздуха.
  • R = 8,3143 J/(K mol) е газовата константа .
  • Зададена е стойността на константата k = 0,46235
  • Вземаме T0 = 303 K на морското равнище и y0 = 49 km = 49000 m
  • Атмосферно налягане на морското равнище (y = 0), P0 = 101300 Pa
  • Начален радиус на балона, r0 = 42 cm
  • Балонът е изпълнен с 45 мола He, искаме да изчислим радиуса на балона на височина y = 1000 m

Баланс

Да предположим, че масата на балона, включително газ и баласт, е M.

Балонът спира изкачването си, когато теглото е балансирано от тягата.

Тягата е теглото на въздуха, изместен от балона

E = ρ airg 4 3 π r 3 = MAPRT g 4 3 π r 3 = MAP 0 RT 0 (1 - yy 0) η - 1 g 4 3 π r 3 E = MA n 0 g λ 3 (1 - yy 0 ) η - 1

При равновесно тегло, равно на тягата, Mg = E.

Комбинирано уравнение, което получава радиуса на балона на височина и с уравнението за равновесие на тази височина.

M = MA n 0 b + a λ 4 - b λ 6 λ 7 b λ 6 + (MMA n 0 - a) λ 4 - b = 0 x 3 + 1 b (MMA n 0 - a) x 2 - 1 = 0 x = λ 2

След като се получи λ = r/r0, максималната височина се изчиства и в първото уравнение.

Пример:

  • Атмосферно налягане на морското равнище (y = 0), P0 = 101300 Pa
  • Начален радиус на балона, r0 = 42 cm
  • Зададена е стойността на константата k = 0,46235

Брой начални мола газ

P 0 4 3 π r 0 3 = n 0 R T 0 n 0 = 12.5

  • Балонът е пълен с n = 45 мола хелиев газ
  • Теглото на балона с газ и баласт е M = 1,12 кг
  • MA = 0,0289 kg/mol е молекулната маса на въздуха.
  • Вземаме T0 = 303 K на морското равнище и y0 = 49 km = 49000 m

Балонът е освободен. Изчислете максималната височина, която достига

Трябва да решим кубичното уравнение

x 3 + 1 b (M M A n 0 - a) x 2 - 1 = 0 x = λ 2 a = n n 0 b = 16 π k r 0 2 3 n 0

С предоставените данни,

това уравнение има реален корен и две сложни конюгати. Използвайки калкулатора за извършване на операциите, посочени на страницата, озаглавена „Корени от кубично уравнение“, получаваме реалното решение x = 4.6174, или, λ = 2.1488.

В предишния раздел решихме задачата, като взехме предвид височината и изчислихме радиуса на балона. Сега решаваме обратната задача, като се има предвид радиусът или λ изчислява височината и в която балонът остава в равновесие

(1 - y y 0) η - 1 = b + a λ 4 - b λ 6 λ 7 η = M A g y 0 R T 0

получаваме y = 11143 m

Движение на балона от земята към равновесната височина

Силите върху балона са:

  • Тегло, Mg
  • Тласъкът, Е
  • Силата на триене Fr пропорционална на квадрата на скоростта.

Ще приемем, че по всяко време трите сили са балансирани, времето, необходимо за достигане на граничната скорост, е много малко, започвайки от много близка скорост.

Ще приемем, че силата на триене е пропорционална на квадрата на скоростта, както е в случая с парашута. Константата на пропорционалност на силата на триене е

  • ρ е плътността на въздуха, която се променя с височината и.
  • A е площта на фронталното сечение, изложено на въздух, за сфера A = πr 2
  • δ е коефициент, който зависи от формата на обекта, за сфера δ = 0,4

Уравнението на движението е

MA n 0 g λ 3 (1 - yy 0) η - 1 - M g = 0,2 MAP 0 RT 0 (1 - yy 0) η - 1 π r 2 v 2 MA n 0 g λ 3 (1 - yy 0) η - 1 - M g = 0,3 MA n 0 2 r 0 (1 - yy 0) η - 1 λ 2 v 2

Диференциалното уравнение от първи ред трябва да бъде решено със следното начално условие: в момент t = 0, y = 0, част от морското равнище.

d y d t = 20 3 g r 0

За всяка стойност на y трябва да изчислим радиуса r на балона или коефициента λ = r/r0 решавайки уравнението.

(1 - y y 0) η - 1 λ 7 + b λ 6 - a λ 4 - b = 0 a = n n 0 b = 16 π k r 0 2 3 n 0 η = M A g y 0 R T 0

Пример:

  • Балонът е пълен с n = 45 мола хелиев газ

Изчислете началната скорост на балона, когато y = 0.

С интерактивната програма в предишния раздел изчисляваме началния радиус на земното кълбо на морското равнище.

Начертаваме скоростта на балона dy/dt като функция от височината и на балона, докато достигне равновесна височина. Попълваме предишния скрипт със същите данни:

  • MA = 0,0289 kg/mol е молекулната маса на въздуха.
  • R = 8,3143 J/(K mol) е газовата константа .
  • Зададена е стойността на константата k = 0,46235
  • Вземаме T0 = 303 K на морското равнище и y0 = 49 km = 49000 m
  • Атмосферно налягане на морското равнище (y = 0), P0 = 101300 Pa
  • Начален радиус на балона, r0 = 42 cm
  • Балонът е изпълнен с 45 бенки от He

Дейности

  • Масата М на балона, включително газ и баласт, в контролата, озаглавена Маса
  • Броят n мола газ, с който балонът се надува, в контролата, озаглавена Бенки.

Бутонът е озаглавен Ново

Ако тягата е по-голяма от теглото, балонът се издига. На балона действа и сила на триене, пропорционална на квадрата на скоростта, която поддържа балона в равновесие през цялото време (ускорението е нула). Скоростта обаче се променя, тъй като тягата се променя с височината на балона.

Вляво варирането на налягането с височина,

P = P 0 (1 - y y 0) η

данните за температурата се предоставят в градуси по Целзий.

T = T 0 (1 - y y 0)

Червената лента показва, че плътността на въздуха намалява с височината, тъмночервеният цвят показва по-плътен въздух, а светлочервеният цвят по-малко плътен въздух.

ρ = ρ 0 (1 - y y 0) η - 1

В лентата балонът се движи и силите, действащи върху него, са показани със стрелки:

  • Тегло, черно
  • Натискането, в червено
  • Силата на триене, в син цвят

Горе вдясно е показан балонът, тъй като радиусът му се увеличава, когато се издига.

В долния десен ъгъл скоростта на балона е представена като функция от височината.

Забелязваме, че скоростта остава почти постоянна и равна на първоначалната скорост по време на почти целия път на изкачване и намалява бързо, в близост до максималната височина, която достига.

Препратки

Теоретичен въпрос 2. Международно състезание по олимпиада по физика 2004 г. в Южна Корея.

Merritt D. R., Weinhaus F. Кривата на налягането за гумен балон. Am. J. Phys. 46 (10) октомври 1978 г., стр. 976-977