Динамика
Спускане на парашутист в неравномерна атмосфера.
В предишните две страници изучавахме движението на тялото в течност в ламинарен режим (силата на триене беше пропорционална на скоростта). Сега ще проучим движението на тялото в течност в турбулентен режим (силата на триене е пропорционална на квадрата на скоростта).
Спускане на парашутиста в еднаква атмосфера
Когато парашутист е хвърлен от самолета, ние приемаме, че падането му е свободно, тежестта е единствената сила, действаща върху него, ускорението е постоянно и уравненията на движение са тези, изучавани на страницата на падащите тела.
Когато отворите парашута, освен тежестта, действа и сила на триене, пропорционална на квадрата на скоростта.
Свободно падане преди отваряне на парашут
Парашутистът е подложен на действието на собственото си тегло. Въздушната тяга се счита за незначителна, тъй като плътността на въздуха е много по-малка от тази на тялото. От друга страна, ние считаме, че триенето на парашутиста с въздуха е малко.
Когато парашутът е отворен
Константата на пропорционалността к=ρAδ/ две
- r е плътността на въздуха. Въпреки че плътността на въздуха варира в зависимост от височината, в това приблизително изчисление ще се използва неговата стойност на морското равнище от 1,29 kg/m 3. .
- ДА СЕ е площта на предното напречно сечение, изложена на въздух,
- д е коефициент, който зависи от формата на обекта
Следващата таблица предоставя коефициенти на плъзгане за различни обекти
| Форма на обекта | Приблизителна стойност на д |
| Кръгов диск | 1.2 |
| Сфера | 0,4 |
| Самолет | 0,06 |
Тъй като парашутистът е по-малко аеродинамичен от сфера, но по-аеродинамичен от предния диск, ние приемаме за коефициент на формата средната стойност на стойностите, дадени за тези две фигури в таблицата, т.е., д = 0,8.
Когато падащият парашутист отваря парашута, той рязко намалява скоростта си, докато достигне постоянна гранична скорост. вл, което се получава, когато тежестта е равна на силата на триене, тоест когато ускорението е нула.
Стойността на граничната скорост е независима от началната скорост на парашутиста в момента на отваряне на парашута, както можем да видим на фигурите.
Уравнение на движението
Можем да напишем уравнението на движението, когато парашутът се отвори във формата
Интегрираме уравнението на движението, за да получим скоростта v на мобилния по всяко време т. Началните условия са: v0 е скоростта на парашутиста в момента t0, в който парашутът се отваря.
За интегриране е направена промяната v=zvl.
Промяната е отменена и тя се изчиства v като функция от времето (t-t0), Достига се след някои операции с израза.
Също така можем да получим израза на позицията на мобилния като функция от скоростта, като направим промяна на променлива
Уравнението на движението става
Това може да се интегрира незабавно
Височината x на парашутиста като функция от неговата скорост v е
Изчистваме скоростта v в зависимост от позицията х на парашутиста.
Дейности
Въвежда се
- Маса м на парашутиста в контролата за редактиране със заглавие Парашутна маса
- Областта на парашута в контрола за редактиране е озаглавена Парашутна зона
Натиснете бутона със заглавие Започва
Натиснете бутона със заглавие Отворени парашути парашутистът да спира свободното си падане при отваряне на парашута.
Червеният кръг представлява парашутиста при свободно падане, същият кръг, заобиколен от син контур, показва, че той е отворил парашута. Силите на мобилния са представени:
- В червено постоянната сила на тежестта.
- В синьо, силата на триене, пропорционална на квадрата на скоростта.
Когато и двете стрелки са равни, скоростта на парашутиста е постоянна и равна на пределната скорост. Имайте предвид, че граничната скорост не зависи от височината, на която се отваря парашутът.
За да се определи зависимостта на крайната стойност на скоростта от теглото на парашутиста и площта на парашутиста.
- Теглото на парашутиста се поддържа постоянно, увеличавайки площта на парашута
- Парашутната зона се поддържа постоянна, увеличавайки теглото на парашутиста.
- Масата на парашутиста от м= 72 кг,
- Парашутна зона ДА СЕ= 0,6 m 2
- Парашутистът започва от почивка от позицията х= 2000 m
- Отворете парашута на място х= 1000 м, над земята.
Изчислете скоростта, с която достига земята
Данните за изчисляване на ограничителната скорост вл са:
- Плътност на въздуха r = 1,29 kg/m3
- Коефициент на форма д = 0,8
Прилагайки уравненията за падане на телата, ние изчисляваме скоростта, когато парашутистът достигне позицията х= 1000 m
1000 = 2000-9,8t 2/две
v= -9,8т
Това е началната скорост за следващия етап на движението, v0 =-140 m/s в позиция x0= 1000 m
Скоростта на парашутиста в позиция х= 0, когато стигне до земята, е
Спускане на парашутист в неравномерна атмосфера.
Ще проверим, че парашутист, който отваря парашута в изходна позиция, скоростта му се увеличава с времето, докато достигне постоянната гранична скорост.
Ще проверим, че в неравномерна атмосфера поведението е по-сложно. Скоростта на парашутиста се увеличава до достигане на максимална скорост и след това намалява, докато той достигне земята.
Изменение на налягането с височина
В изотермична атмосфера варирането на налягането като функция от надморската височина х се дава от закона на Лаплас.
P0 е налягането на атмосферата на морското равнище
М е молекулното тегло на въздуха 28,8 g/mol = 0,0288 kg/mol
ж е ускорението на гравитацията
k =1.3805 10 -23 J/K е константата на Болцман
т е температурата на атмосферата в келвин
NA= 6,0225 · 10 23 е броят на Авогадро, брой молекули, които се побират в един мол
Въпреки че атмосферата не е изотермична, варирането на налягането с височина може да бъде приближено до намаляваща експоненциална стойност за ефективна температура от 254 K.
където P0= 1 атм е налягането на морското равнище. Налягането на височина х= 10 000 m е само 0,26 атм.
Уравнение на движението
Уравнението на движението е
Можем да напишем това уравнение алтернативно
Където k0 е стойността на константата на пропорционалност на силата на триене, на морското равнище, където е налягането P0, и константата λ= 7482,2 м -1 .
Това уравнение допуска решение по отношение на безкрайна поредица, вижте статията, цитирана в препратките. Интерактивната програма го решава чрез цифрови процедури.
Максимална скорост, достигната от парашутиста.
Наблюдаваме, че парашутистът увеличава скоростта си при падане, достигайки максимум и след това, скоростта намалява, докато достигне земята.
Когато се достигне максималната скорост dv/dx= 0. Връзката между максималната скорост vm и височината xm до което се случва е
където вл е ограничението на скоростта, което парашутистът би достигнал в еднаква атмосфера.
Може да се изчисли xm, чрез числови процедури, ако имаме аналитичното решение v = v(х), че поради сложността му пропускаме на тази страница.
Дейности
- Маса м на парашутиста в контролата за редактиране със заглавие Маса
- Парашутната зона в контролата за редактиране е озаглавена ■ площ
- Височината (в км), от която се изстрелва парашутистът, действащ върху лентата за превъртане, озаглавена Височина.
Натиснете бутона със заглавие Започва
Парашутистът отваря парашута от изходна позиция.
В лявата част на аплета, въздушното налягане е представено като функция от височината, според модела на изотермичната атмосфера.
След това наблюдаваме движението на парашутиста на оцветен фон, който представлява натиск като функция на височината в червена скала на интензитета. Белият цвят съответства на нулевото налягане, а червеният - на налягането на морското равнище.
И накрая, от дясната страна скоростта на парашутиста е показана като функция от височината. Всъщност той е представен
На хоризонталната ос 1-x/x0, където x0 е височината на изстрелване
На вертикалната ос v/vl, където vl е постоянната ограничителна скорост, достигната от парашутиста в еднородната атмосфера.
Наблюдаваме, че парашутистът увеличава скоростта си при падане, достигайки максимум. Скоростта намалява и достига стойност, близка до вл когато достигне земята, в графиката стойността v/vl= 1.
Предлага се на читателя да представи на хартия височините, на които парашутистът достига максимална скорост xm в зависимост от началната изходна позиция x0. Използвайте бутоните Пауза/Продължаване Y. Той премина за да се доближите до позицията xm.
- Масата на парашутиста от м= 72 кг,
- Парашутна зона ДА СЕ= 0,6 m 2
- Парашутистът започва от почивка от позицията х0 = 30000 m
Ограничете скоростта вл парашутистът би достигнал в еднаква атмосфера е
Наблюдаваме, че на височината на xm= 23996 м е достигната максималната скорост. От уравнението, което се отнася xm Y. vm ние добиваме vm.
Интерактивната програма ни предоставя стойността vm= 238,5 m/s
Препратки
Мохазаби П. Високо надморско свободно падане. Am. J. Phys. 64 (10) октомври 1996 г., стр. 1242-1246