Днес предлагаме малко предизвикателство, свързано с един от най-интересните клонове на Икономика (особено за онези от нас, които идват от света на науката и инженерството), което е изследването на избора с несигурност. Става въпрос за добавяне на теория на вероятностите към обичайните икономически модели и проучете хазартни игри и лотарии (концепция, която е основно приложима за всяка ситуация от реалния живот, тъй като резултатът от нашия избор обикновено зависи от външни случайни фактори).

санкт

Започваме от очаквана стойност на хазартна игра. Това не е нищо повече от средната печалба, която ще получим, когато играем споменатата игра. Да предположим например игра, в която получаваме седем евро, ако хвърлим 6 на матрица, и едно евро, ако хвърлим друго число. Има 1/6 от вероятността за получаване на седем евро и 5/6 от получаване на евро. Следователно очакваната стойност на тази игра ще бъде 1/6 7 + 5/6 1 = 2. Тоест, ако играем много пъти, в крайна сметка ще получим средно около две евро на завъртане.

От математическа гледна точка изглежда ясно, че играта е „справедлива“, ако цената, която плащаме, е равна на очакваната стойност. Ако плащаме по две евро всеки път, когато играем, никой не ни изневерява или прави извънредни печалби. Банката няма да печели пари, като начислява две евро на завъртане, тъй като средно те ще плащат две евро на завъртане. Това разсъждение изглежда преобладаващо логично. И все пак преди около 300 години, Никола Бернули намери голяма пукнатина, отразена в Парадокс в Санкт Петербург.

Бернули си поставя следното предизвикателство: да предположим игра, която се състои в хвърляне на монета и получаване на максимално възможния брой глави в един ред, докато опашките излязат и играта бъде спряна. Всеки път, когато излезе ново лице, награда, докато се изтегли кръст и след това играчът вземе всички натрупани печалби.

Тоест, ако първото хвърляне е опашка, нищо не се печели; ако първата е глава и следващата опашка, печелите две евро; Ако излязат две глави и една опашка, се печелят четири и т.н. Например, ако имаше някой с такъв късмет, че да получи десет глави подред, преди да получи опашки, те биха спечелили 2 10 евро, т.е. 1024 евро.

Каква е очакваната стойност на тази игра? Нека видим, възможността за получаване на лице е 1/2 и има награда от 2 евро; това да вземете две лица е (1/2) · (1/2) и наградата е 4 евро; Този, който ще получи три лица, е (1/2) · (1/2) · (1/2) и ще бъдат спечелени 8 евро. лесно е да се види, че очакваната стойност е 2/2 + 2 2/2 2 + 2 3/2 3 +. = 1 + 1 + 1 + 1 +. до безкрайност!

Подобряване на: В предишния параграф шансовете всъщност са верни, ако вземем предвид, че първото хвърляне не е опашка. Строго всички дадени вероятности трябва да бъдат разделени на 2, така че вероятността за теглене на глава всъщност би била 1/4 (глави в първата, опашки във втората и наградата се урежда). Но това изобщо не засяга нашите разсъждения: половината безкрайност все още е също толкова безкрайност!)

Парадоксът води до това, че имаме a хазартна игра, чиято очаквана стойност е безкрайна. И все пак е абсурдно да се мисли, че „безкрайността“ може да бъде справедлива цена за игра. Всъщност, ако направихме проучване, вероятно малко хора биха желали да участват, плащайки повече от пет или шест евро. Изглежда, че първоначалните ни разсъждения за „справедливата цена“ на хазарта имат някои големи недостатъци. Но кои?

Решението, скоро, междувременно ви каним да натрупате малко мозъци (без търсене в Wikipedia и публикуване на резултата;)). Подсказка: парите не струват същото за математиците, колкото за обикновените смъртни.