Предговор Авторите на тази книга са успели в най-изразителната форма на диалог да анализират в дълбочина почти всички въпроси на програмата и особено тези, които са трудни за разбиране. Книгата прави подробен анализ на най-характерните грешки, които допускат учениците. Текстът е написан по единствен, прост и забавен начин, трудни въпроси се обсъждат от различни гледни точки, добре детайлните рисунки (които са многобройни в книгата) помагат да се разбере по-задълбочено идеята на авторите. Авторите на тази работа са професори от Московския институт за електронно машиностроене. Високите оценки на авторите, в комбинация с жизнеността и разбираемостта на изложението, правят тази книга много полезна за студентите в началния етап на обучението си по физика. две
Глава 1 Не пренебрегвайте кинематиката! Проблемът за това как телата се движат в пространството и времето е от голям интерес както от гледна точка на физиката, така и от практическа гледна точка. 1. ЗНАЕТЕ ЛИ КАК ДА ГРАФИЧНО АНАЛИЗИРАТЕ КИНЕМАТИКАТА НА ПРАВНОЛИНЕЙНОТО ДВИЖЕНИЕ? УЧИТЕЛ: По-рано сте обсъждали графики на скоростта и изминатия път спрямо времето за еднакво променливо праволинейно движение. Във връзка с това ви задавам следния въпрос. Да предположим, че графиката на скоростта и времето има формата, представена на Фигура 1, от това изградете графиката на изминатия път като функция от времето. УЧЕНИК: Никога не съм рисувал такива графики. УЧИТЕЛ: Това изобщо не е сложно. Нека разсъждаваме заедно. Нека разделим общото прекарано време на три интервала: 1, 2 и 3 (вж. Фигура 1). Как се движи тялото през интервал 1? Каква ще бъде формулата за изминатия път в този интервал? 3
УЧЕНИК: В интервал 1 движението на тялото се ускорява равномерно без начална скорост. Формулата за изминатия път е, в този случай, следната: s (t) = при 2/2 (1), където a е ускорението на тялото. Фигура 1 УЧИТЕЛ: Бихте ли могли, използвайки графиката на скоростта, да намерите ускорението? УЧЕНИК: Да, ускорението, което представлява промяната на скоростта, в единица време, е равно на съотношението между сегментите AB: OB. УЧИТЕЛ: Добре. Сега анализирайте интервали 2 и 3. УЧЕНИК: В интервал 2 тялото има равномерно движение със скорост v, което е достигнало в края на интервал 1. Формулата за изминатия път е: s = vt УЧИТЕЛ: Вашият отговор не е точно. Не взехте предвид, че равномерното движение започна в момент i, а не в началния момент. За 4
този път тялото вече е изминало път, равен на 1 t 2/2. В интервал 2 зависимостта на изминатия път по отношение на времето има следния израз: s (t) = при 1 2/2 + v (t 2 - t 1) (2) Като се вземе предвид това наблюдение, напишете формулата за пътеката за интервал 3. УЧЕНИК: В интервал 3 движението е равномерно забавено. Ако съм разбрал правилно, в този случай формулата за изминатия път трябва да има следния израз: s (t) = при 2 1/2 + v (t 2 - t 1) + v (t - t 2) - a 1 (t - t 2) 2/2 където at е ускорението в интервал 3. Това е два пъти по-малко от ускорението a в 1, тъй като интервал 3 е два пъти по-дълъг от 1. УЧИТЕЛ: Формулата му е, че можете да опростите a бит s (t) = при 1 2/2 + v (t - t 1) - a 1 (t - t 2) 2/2 (3) Сега можете просто да добавите резултатите, получени в (1) (3). Фигура 2 5
СТУДЕНТ: Да, разбирам. В 1 графиката на изминатия път е парабола, в 2 е права линия и накрая в интервал 3 отново е парабола, но обърната (изпъкнала нагоре). Това е моята графика (Фигура 2). УЧИТЕЛ: Вашата рисунка не е напълно правилна. Кривата на изминатия път не трябва да е прекъсната линия, тя трябва да бъде представена от гладка линия, тоест параболите трябва да бъдат объркани с права линия. Освен това върхът на втората парабола трябва да съответства на момента на времето t. Тази графика е вярна (Фигура 3). Фигура 3 СТУДЕНТ: Моля, обяснете. УЧИТЕЛ: Нека анализираме част от някаква друга графика на изминатия път през определен интервал от време (Фигура 4). Средната скорост на тялото в интервала от t до t + t е равна на 6
където е ъгълът, който хордата AB прави с хоризонталата. За да изчислим скоростта на тялото в момент t, трябва да намерим границата на средните скорости, когато t 0 На границата хордата се превръща в тангенс на кривата в точка А (вижте пунктираната линия на фигура 4). Стойността на скоростта в момент t ще бъде равна на наклона на допирателната при A. Следователно скоростта на тялото във всеки момент от времето може да бъде намерена от наклоните на допирателните към графиката на изминатия път. Нека се върнем към графиката (Фигура 2). От това се заключава, че в момент t 1 (и в момент t 2) скоростта на тялото има две различни стойности: ако се приближим до t отляво, скоростта ще бъде равна на tg 1, докато ако се приближим същата тази точка отдясно, скоростта ще има стойност, равна на tg 2 Фигура 4 7
Глава 2 Понятието сила е едно от основните понятия на физиката. Бихте ли знаели как да използвате правилно тази концепция? Познавате ли добре законите на динамиката? 2. МОЖЕ ДА ВИ. ПОСОЧЕТЕ КАКВИ СИЛИ ДЕЙСТВАТ НА ТЯЛО? УЧЕНИК: Механичните проблеми ми се струват най-трудни. На какво основание трябва да започне вашето решение? УЧИТЕЛ: В повечето случаи трябва да започнете с анализа на силите, действащи върху тялото. Нека разгледаме няколко примера (фигура 7): а) тяло е хвърлено под ъгъл с хоризонталата; б) тяло се плъзга надолу по наклонена равнина; в) тяло, вързано за въже, се върти във вертикалната равнина; г) просто махало. Обяснете и направете диаграма на силите, приложени към телата във всеки от горните случаи. СТУДЕНТ: Това е моята графика (фигура 8). В първия случай: P е теглото на тялото, F е стартовата сила. Във втория случай: P е теглото; F, плъзгащата сила; F r, сила на триене. В третия случай: P е теглото; F c. центростремителната сила; T, напрежението на струната. В четвъртия случай: P е теглото; F, реституционната сила; Т, опън на въжето. 10
Фигури 7 и 8 УЧИТЕЛ: Във всички случаи сте сгрешили. Това е правилната диаграма (фигура 9). Необходимо е много добре да се разбере, че всички сили се появяват в резултат на взаимодействието на телата. Следователно, за да представим силите, приложени към дадено тяло, първо трябва да отговорим на въпроса: Кои тела си взаимодействат с разглеждания обект? По този начин в първия случай Земята привлича разглеждания обект и тя е единственото тяло, което взаимодейства с него (фигура 9, а). Следователно тялото е подложено на действието само на една сила: собственото му тегло. Ако вземем предвид въздушното съпротивление или действието на вятъра например, ще трябва да се въведат други допълнителни сили. „Изстрелващи сили“, като тази, която посочвате на диаграмата си, не съществуват в природата, тъй като няма взаимодействие, което да доведе до наличието на такава сила. УЧЕНИК: Но ако се изстреля тяло, върху него непременно трябва да действа сила. единадесет
УЧИТЕЛ: Вярно е. Когато хвърляте тяло, прилагате определена сила към него. В разглеждания случай обаче се анализира движението на тялото след хвърлянето, т.е. след изчезване на действието на неговата сила, която съобщава на тялото определена начална скорост на изстрелване. Невъзможно е да "натрупате" сили; щом взаимодействието на телата приключи, силите изчезват. Фигура 9 СТУДЕНТ: Но ако върху тялото не действа друго, освен теглото му, защо тогава то не пада вертикално, а по-скоро описва определена траектория? УЧИТЕЛ: Струва ви се странно, че в този случай посоката на движение на тялото не съвпада с тази на силата, действаща върху него. Всичко това обаче е напълно в съответствие с втория закон на Нютон. Въпросът ви предполага, че не сте обмисляли внимателно законите на Нютон за динамиката. Предлагам да се спра на това по-късно (вж. 4), докато засега продължавам с анализа на предишните четири примера за движение на тяло. 12
УЧЕНИК: С тялото 2 си взаимодействат: Земята, наклонената равнина и струните AB и CD. Силите, приложени към тялото 2, са посочени на фигура 13, b. Фигура 13 УЧИТЕЛ: Перфектно. Сега анализирайте тяло 3. УЧЕНИК: Тялото 3 взаимодейства само със Земята и CD низа. Силите, приложени към споменатото тяло, са посочени на фигура 13, c. УЧИТЕЛ: След като намерите силите, приложени към всяко от телата, трябва да напишете уравненията на движението за всяко от тях и след това да решите получената система от уравнения. УЧЕНИК: Посочихте, че набор от тела също може да бъде анализиран. УЧИТЕЛ: Да, тела 1, 2 и 3 също могат да се разглеждат заедно, като единна система. В този случай не е необходимо да се обръща внимание на напреженията на струните, тъй като сега те се считат за вътрешни сили, тоест те са 17
Преобръщам се, като накарам тялото да се обърне. Движението на материална точка може да бъде само транслационно. Нека разгледаме един пример: да предположим, че две сили действат върху тялото в различни точки: F 1 в точка A и F 2 в B, както е показано на фигура 14 а. Нека приложим сила F 2 към точка A; равна и успоредна на F 2, същата като сила F 2; равно на F 2, но в обратна посока (виж фигура 14 б). Фигура 14 Като сили F 2; и F 2, взаимно се отменят, въвеждането им не причинява никакви физически промени. Фигура 14, b обаче може да се третира по следния начин: силите F 1 и F 2 се прилагат към точка А, което може да доведе до изместване на тялото. В допълнение, няколко сили действат върху едно и също тяло (сили F 2 и F 2), които карат обекта да се върти. С други думи, силата F може да бъде пренесена в точка А, стига да добавим съответния момент на завъртане едновременно. 19.
УЧЕНИК: Разбирам. Тъй като тялото е в покой, това е силата на статично триене. Това трябва да се определи от условията на равновесие на силите, действащи в посока, успоредна на наклонената равнина. В този случай има две сили: триене F r и сила, която принуждава тялото P sin a да се плъзне. Поради тази причина верният отговор е F r = P sin a. УЧИТЕЛ: Точно така. В заключение нека анализираме следния проблем, представен на фигура 17. Блок, чиято маса е m, опира в друг с маса M; максималната стойност на статичната сила на триене между двата блока е представена с коефициент k 0, триенето между блока М и повърхността на Земята се пренебрегва. Поискано е да се намери минималната сила F, която трябва да се приложи върху M, така че горният блок да започне да се плъзга по първия. Фигура 17 СТУДЕНТ: Първо, ще предположа, че силата F е достатъчно малка: тялото m не се движи спрямо M. В този случай двете тела имат ускорение a = F/(M + m) УЧИТЕЛ: Правилно. Каква е силата, която това ускорение съобщава на тялото m? УЧЕНИК: Силата на статично триене F r = ma = F r m/(M + m). 24
На фигура 18 векторите на скоростта на тялото v 1 и v 2 са представени за два много близки момента на време t и t + Dt. Промяната на скоростта във времето Dt е векторът. По дефиниция ускорението (12) или, по-строго, (13) От това следва, че векторът на ускорението е насочен по вектора Dv. което представлява промяната в скоростта в достатъчно малък интервал от време. На фигура 18 може да се види, че векторите на скоростта и варирането на скоростта могат да имат напълно различни посоки. Това означава, че като цяло векторите на ускорението и скоростта също могат да бъдат ориентирани по различен начин. Разбира ли се това? УЧЕНИК: Да, това разбирам. Например при кръговото движение на тялото скоростта му е насочена тангенциално към обиколката, докато ускорението е насочено радиално и към центъра. (Имам предвид центростремителното ускорение.) УЧИТЕЛ: Вашият подходящ пример служи за изясняване на формула (11) и обяснение, че посоката на силата съвпада с посоката на ускорението, а не с тази на 29
Фигура 20 Искам да разгледам още един пример, който илюстрира горното. Това е представено на фигура 20: две сили действат върху топка, окачена на нишка: теглото и напрежението на конеца. Ако отклоним топката от нейното равновесно положение и след това я освободим, тя ще започне да трепти. Ако съобщихме на отклонената топка определена скорост, насочена перпендикулярно на равнината, на която се е получило отклонението, тогава багажникът ще се движи равномерно по обиколката. Както можете да видите, според първоначалните условия топката или се колебае (виж фигура 20, а), или се движи равномерно по обиколка (виж фигура 20, б), като по този начин и в двата случая върху топката действат само две сили: неговото тегло и напрежение на конеца. СТУДЕНТ: Не съм мислил за законите на Нютон в този самолет. УЧИТЕЛ: Ето защо не е изненадващо, че когато обясняват въпроса за силите, които действат върху тялото, понякога те изхождат от факта на характера на движението на тялото, а не от кои са телата, които взаимодействат с даденото тяло. Не забравяйте, че и вие сте направили това. Поради тази причина, когато нарисувахте фигури 8, c и 8, d, ви се струваше, че набор от сили 32
Фигура 21 Следователно е необходимо теглото P на тялото да се разложи по посока на резултанта и в посоката, перпендикулярна на него (т.е. по протежение на резбата) и да се изравнят силите, перпендикулярни на резултанта, т.е. силите, действащи в посока на конеца (фигура 21, а). Следователно T 1 = P cos a Във втория случай резултантната е центростремителната сила, която е насочена хоризонтално. Следователно е необходимо да се разложи опъването Т на нишката в хоризонтална и вертикална посока и да се изравнят перпендикулярите на резултантните, т.е. вертикално насочени усуквания (фигура 21, б). Оттам получаваме T 2 cos a = P или T2 = P/cos a 34