ОНЛАЙН КУРС ПО МАТЕМАТИКА (АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ)

десетичната запетая

КОМПОНЕНТИ НА ЛОГАРИТМИТЕ

Свързани теми:

Дробната част на логаритъма обикновено се записва като десетична запетая. Числовата целочислена част на логаритъма и десетичната част са получили отделни имена, защото всеки играе специална роля по отношение на числото, което логаритъмът представлява. Целочислената числова част на логаритъма се нарича ХАРАКТЕРИСТИКА. Тази част от логаритъма показва позицията на десетичната запетая в свързаното число. Десетичната част на логаритъма се нарича MANTISA.

Десетичният логаритъм от 4570 е 3.65992; фигурата 3 е характеристиката; десетичната дроб е мантисата, и двете части не са нула; при логаритъма 3, което е 0,47712, характеристиката е нула; степен на 10 от цяло число експонента имат десетичен логаритъм с нулева мантиса.

Логаритъмът на 1 има във всяка система и двете части нула.

За определена последователност от цифри, съставляващи число, мантисата на общ логаритъм винаги е една и съща, независимо от позицията на десетичната запетая в това число. Например, дневник 5270 = 3.72181; мантисата е 0,72181 а характеристиката е 3.

ХАРАКТЕРИСТИКА

Характеристиката на общ логаритъм показва позицията на десетичната запетая в свързаното число. Характеристиката за дадено число се намира чрез наблюдение. Ще се припомни, че общият логаритъм е просто експонента на база 10.

Когато пишем дневник 360 = 2,555630, разбираме това означава 10 2,55630 = 360. Знаем, че числото е 360, а не 36 или 3600, защото характеристиката е 2. Знаем, че 10 1 е 10, 10 2 е, 100 и 10 3 е 1000. Следователно числото, чиято стойност е 10 2.55630, ще бъде между 100 и 1000 и след това всяко число в този диапазон има три цифри.

Да предположим, че характеристиката е била 1: къде ще бъде поставена десетичната точка на числото? Тъй като 10 1 е 10, а 10 2 е 100, всяко число, чийто логаритъм е между 1 и 2, трябва да бъде между 10 и 100 и ще има 2 цифри. Забележете как позицията на десетичната точка се променя с характеристичната стойност в следните примери:

дневник 36 000 = 4,555630
дневник 3600 = 3,55630
дневник 360 = 2,555630
дневник 36 = 1,55630
дневник 3.6 = 0.55630

Имайте предвид, че при преместване на десетичната запетая се променя само характеристиката. Това е предимство от използването на база 10: ако характеристиката е известна, десетичната запетая се намира лесно.Ако числото е известно, характеристиката се определя чрез наблюдение; т.е. наблюдение на разположението на десетичната запетая.

Въпреки че разбирането на връзката на характеристиката по отношение на степента 10 е необходимо за пълно познаване на логаритмите, характеристиката може да бъде определена механично чрез прилагане на следното правило:

1. За число, по-голямо от 1, характеристиката е положителна и е с една по-малка от броя на цифрите вляво от десетичната запетая на числото.

2. За положително число, по-малко от 1, характеристиката е отрицателна и има абсолютна стойност с 1 повече от броя на нулите между десетичната запетая и първата ненулева цифра на числото.

Таблица 8-5 съдържа примери за всеки тип характеристики.

Таблица 8-5. Положителни и отрицателни характеристики.

ПРОМЯНА НА БАЗАТА

Като се има предвид логаритъмът на число в една система, неговият логаритъм може да бъде изчислен във всяка друга система, проблем, известен като промяна на основата.

Бъда х логаритъма на P в основата да се; логаритъма на P в основата б.

За това, че съм х логаритъма на P, в основата да се връзката е проверена P = a x, вземане на логаритми в основата б, в това равенство се получава: logbP = x logba; заместване х от неговия равен logaP, ти имаш: logbP = logaP. logba: което с думи се изразява като се казва: щом е известен логаритъмът на число в една основа, неговият еквивалент се намира в друга, като се умножи по логаритъма на първата основа във втората.

Ето как се тръгва от базата и към база 10 поставяне: log10P = logeP. 0,43429 ... Този фактор на пропорционалност се нарича модул за трансформация и се символизира с буквата М. За да изразите даден логаритъм в основа 10 в основата и, прилагайки предишното твърдение, имаме отношението logeQ = log10Q. loge10 = log10Q. 2.30259; Този коефициент на пропорционалност е реципрочен на предишния, така че е представен от 1/М.

КОЛОГАРИТЪМ НА БРОЙ

Определение. Логаритъмът на този променен знак се нарича кологаритъм на число. В символи: cologarithm of n = - log n.

Cologarithm се съкращава чрез поставяне colog.

От определението следва, че log n + colog n = 0. така че се стига до заключението, че colog на число е допълнението му към нула; и оттогава

log 1/n = - log n, може също да се каже, че colog на числото е логаритъмът на неговата реципрочна стойност.

Важността на току-що дефинираната концепция се крие във факта, че в сбор от логаритми отрицателните членове могат да бъдат заменени от съответните кологаритми, предшествани от знак за добавяне.

Кологаритъмът на число се получава бързо, като се има предвид неговия логаритъм, като се извади от 10 първата ненулева цифра отдясно на мантисата, от 9 останалите вляво, до десетичната запетая; положителна единица се добавя към характеристиката и знакът на тази сума се променя.

АНТИЛОГАРИТЪМ НА ЛОГАРИТЪМ

Да стр е логаритъмът на н в базова система да се Хората го казват н той ли е антилогаритъм на стр в споменатата база.

От дефиницията следва, че това трябва да бъде n = a P, Или какво е същото: n = лога n

Пример: Тъй като log10615 = 2,78888 е антилог. 2.8888 = 615.

ПРАКТИКА НА ПРОБЛЕМА:

В задачи 1–4 напишете характеристиката на логаритъма за всяко число. От 5 до 8 поставете десетичната точка във всяко число, както е посочено от характеристиката (c), дадена за всяко едно.

1. 4,321 две. 1.23 3. 0,05 4. 12
5. 123; c = 4 6. 8,210; c = 0
7. 8; c = -1 8. 321; c = -2

1. 3 две. 0 3. -две 4. 1
5. 12 300 6. 8,1210 7. 0.8 8. 0,0321

ОТРИЦАТЕЛНИ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Когато характеристика е отрицателна, като -2, ние не правим изваждането, тъй като това би включвало отрицателна мантиса. Има няколко начина да сигнализирате за отрицателна характеристика. Мантисите, както са представени в таблиците в приложението, винаги са положителни и знакът на характеристиката е посочен отделно. Например,; лентата над 2 показва, че само характеристиката е отрицателна; тоест логаритъмът е -2 + 0,36173.

Друг начин да се посочи отрицателната характеристика е като се постави след мантисата. В този случай пишем 0,36173 -2.

Трети метод, използван в тази глава, когато е възможно, е да добавите определено количество към. характеристиката и извадете същото количество вдясно в мантисата. В случая с примера можем да напишем:

В тази форма стойността на логаритъма остава непроменена, но сега имаме положителна характеристика и мантиса.

МАНТИЗА

Мантисата е десетичната част на логаритъма. Таблиците с логаритми обикновено съдържат само мантисите, тъй като характеристиката се определя лесно, както беше обяснено по-рано. Таблица 8-6 изброява характеристиката, мантисата и логаритъма за различни позиции след десетичната запетая, като се използва цифровата последователност 4, 5, 6. Ще се отбележи, че мантисата не се променя за тази конкретна последователност от цифри, независимо от позицията на цифра десетична точка.

ПРАКТИКА НА ПРОБЛЕМА:
Определете логаритмите на следните числа:

1. 64 две. 98 3. 6400 4. 9.8

1. 1.80618 две. 1.99123
3. 3.80618 4. 0,99123

ОПЕРАЦИИ С ЛОГАРИТМИ

Операциите, които са изразени по-долу, ще се извършват с логаритми на положителна мантиса.

СУММА

Ако характеристиките са положителни, сумата от дадените логаритми се свежда до сумата от десетични числа. Ако характеристиките са отрицателни или някои положителни, а други отрицателни, се добавят мантисите и ако тази сума съдържа цяло число (което е положително), тази част ще бъде добавена към алгебричната сума на характеристиките. И с двата резултата ще се формира сумата на логаритъма.

Този случай ще бъде илюстриран с пример. Бъда

сумата на мантисите 1,65610, тази на характеристиките и цялото число 1 е

обединявайки и двата резултата, имаме, че предложената сума е 3,65610.

ИЗВЕЖДАНЕ НА ДВА ЛОГАРИТМА

Ако мантисата на минутата е по-голяма от тази на субтрагенда, разликата е мантисата на разликата на дадените логаритми; ако първият е по-малък от този на втория, първият се увеличава с 1 и характеристиката се увеличава с отрицателна единица. Във всички случаи характеристиката е разликата на характеристиките в дадения ред.

Всички тези примери могат да бъдат решени чрез прибягване до кологаритмите на изважданията.

ПРОДУКТ НА НОМЕР И ЛОГАРИТЪМ

Примерите илюстрират процедурата, която трябва да се следва във всеки отделен случай.

1. 5 x log 217 = 5 x 2,333646 = 11,68230. Просто ги умножете с правилата на десетичните числа.

две. 0,4 x log 0,00715 = 0,4 x 3,85431. Характеристиката и мантисата се умножават отделно и се добавят резултатите:

Коефициент на логаритъм по число

1. Ако логаритъмът и числото са положителни: Това е коефициентът на две положителни рационални числа.

2. Ако логаритъмът има отрицателно характеристично кратно на делителя и е положително, резултатът е:

Характеристиката се разделя на делителя, който ще бъде отрицателен, и разделен с десетичната запетая, коефициентът продължава с мантисата в този случай положителен.

3. В този пример,

характеристиката е отрицателна, но не е кратна на делителя; след това към него се добавят толкова отрицателни единици, колкото е необходимо, така че да се получи най-малкото кратно на делителя, а към мантисата същия брой положителни единици; те се разделят поотделно една и друга част и след това се събират, за да образуват едно число, но разделени с десетична точка.

Ако делителят е отрицателен, този знак влияе върху дивидента и по този начин води до някои от вече обсъдените случаи.

Съотношение на два логаритма (не се бърка с логаритъма на коефициент).

в този случай се прави фактор на двата десетични числа.

´

Отрицателната част се отделя от положителната част, частното се прави отделно:

с които ще се образува едно число. Във всички случаи коефициентът на два логаритъма води до коефициента на два десетични израза, положителни или отрицателни, от които ще се получи уникален знак за това.

Операции с отрицателни реални числа

Въпреки че отрицателните числа нямат логаритми в реалното поле, това не означава, че тяхното използване е забранено при всички операции, ако могат да бъдат правилно интерпретирани.

Пример: В продукт от фактори, при които се появяват някои негативи, знакът на такъв продукт ще бъде определен предварително; тогава ще се работи така, сякаш те са положителни числа и резултатът ще бъде повлиян от този знак. Същото важи и за коефициента и т.н.

Логаритмично уравнение

Логаритмично уравнение в променлива се нарича уравнение в променлива, при което неизвестното изглежда подложено на логаритъм, например loga x + loga m = n, където м Y. н те са реални числа. Или, по друг начин, логаритмично уравнение е такова, в което се появяват логаритми на неизвестното или на полиноми, които съдържат неизвестното, като:

Познаването и прилагането на законите на логаритмите са основата при решаването на логаритмични уравнения.

От свойството, което установява стойността на логаритъма на единицата, следва, че:

Примери:

Решете следните уравнения .

Нарича се експоненциално уравнение в променлива към уравнение в променлива, в която неизвестното се появява в степента, например, m x + n x = r, където m, n Y. r те са реални числа.

Примери:

Решете следните уравнения,

www.sapiensman.com/ESDictionary - Технически английски - испански речник