Преди няколко дни представихме една малка загадка, известна като Санкт Петербургския парадокс. Става въпрос за a игри чиято очаквана стойност е безкрайна и следователно справедливата цена за игра също трябва да бъде безкрайна, въпреки факта, че това противоречи на интуицията и здравия разум. Къде е недостатъкът или уловът? както вече казахме в оригиналната публикация, математическият резултат е напълно правилен. Обаче нещо ни убягва.

някой който

В коментарите са внесени много интересни идеи и гледни точки. Според мен от всички тях най-интересното отражение е на тези, които смятат, че „реалната“ очаквана стойност на играта е намалена, защото броят пъти, в които можем да играем, не може да бъде безкраен, тя е физически ограничена. Но дори и така, очакваната стойност на играта все още е твърде голяма, за да бъде справедливата цена разумна (например, ако имахме таван от хиляда завъртания, очакваната стойност щеше да бъде 500 евро, но вероятността да надхвърлим пет или шест лица подред все още са също толкова отдалечени).

Решението на енигмата идва през 1738 г. именно от ръката на Даниел Бернули, племенник на Николас Бернули (който предложи парадокса), въпреки че Габриел крамер Вече очаквах резултата преди години. Ключът е в следата, която вече дадохме в оригиналния подход: стойност на парите Не е същото за математиците, както за обикновените смъртни.

Всъщност в своята „Нова теория за измерването на късмета“ Даниел Бернули заявява следното:

The полезна функция (u (x)) е трикът, който икономистите използват, за да могат математически да представят предпочитанията на икономическите агенти, а в случая на рационалния човек, въпреки че винаги се увеличава, той нараства в вдлъбнат (тоест расте все по-бавно). Здравият разум поддържа тази интуиция. „Реалната“ стойност от 100 евро за някой, който има нула, е огромна (тъй като става въпрос за оцеляване), но за някой, който вече има милион евро, е нищожна. С други думи, пределната полезност парите намаляват.

Следователно не трябва да измерваме очакваната стойност на играта, а очакваната полезност (която ще наречем U). Преглеждайки формулите от другата публикация, бързо ще разберем, че споменатата полезност е U = (1/4) u (2) + (1/8) u (4) + (1/16) u (8) +. = Σ [u (2 n)/2 n + 1], където u (x) представлява полезността за получаване на x евро.

Но как изглежда функцията u (x)? всъщност, невъзможно е да се измери числено полученото удовлетворение, и всъщност всеки потребител ще има своя собствена полезна функция (например любителят на риска ще възприеме по-висока очаквана полезност в играта, отколкото много консервативен човек). Това, което направиха Cramer и Bernoulli, беше да тестват с функции, отговарящи на характеристиките, които дадена функция на полезността трябва да има: нарастваща, вдлъбната и нула в началото (полезността, която произвежда от нула евро, също е нула).

По-конкретно, Cramer тества функцията X. Развивайки израза, ще видим, че U = Σ [2 n/2/2 n + 1] = Σ [2 - (n/2) -1]. Ако направим сумата от безкрайни термини (което няма основен проблем, тъй като е геометрично и конвергентно), се оказва, че очакваната полезност на играта е 1.207.

Но полезността е √x, а това, което ни интересува, е x (което представлява пари). Така че √x = 1,207 ⟶ x = 1457 евро. Нашата справедлива цена е преминала от безкрайност до малко под евро и половина! Всъщност не е лудост, тъй като в края на деня имаме 50% шанс да загубим инвестираните пари.

Бернули направи своите примери с функцията на логаритъма. Ако вземем функцията дневник (x + 1) (добавяме +1, така че функцията да е нула в началото) и ние повтаряме операцията, ще имаме U = Σ [log (2 n +1)/2 n + 1]. Тази поредица също се сближава и числовият резултат ще бъде U = 0.832 и тъй като u = log (x + 1) ще получим x = 1298 евро, още по-малко в предишния случай.

Както коментирахме, изборът на функцията за полезност е субективна. Тези два примера биха съответствали на много консервативни хора, против риск. Фактът, че имаме 50% шанс да загубим всички пари драстично намалява очакваната полезност на играта. Ако направихме малка модификация в играта, така че тези, които се опашат на първото хвърляне, да не си тръгват с празни ръце, а да получат едно евро и отново да изчислим, щяхме да видим, че с формулата на Креймър ще отидем до х = 2914 евро: елиминирайки риска от връщане празно, бихме искали да удвоим инвестицията.

Бихме могли да анализираме и други по-малко консервативни полезни функции, които продължават да изпълняват свойствата. Например, някой, който е по-любител на риска с полезна функция u = x 2/3, би бил готов да плати 2668 евро за игра дори с 50% шанс да не спечелите нищо. Но във всеки случай, въпросът е, че въпреки че очакваната стойност на играта е безкрайна, очакваната полезност не е и един рационален човек, колкото и да е рисковиден, няма да плати много висока цена за игра (в факт е почти невъзможно да се намери някой, който желае да плати повече от 10 евро).

Според мен тези неща са най-интересните Икономика: използвайте математика, за да представите такива субективни понятия като отклонение от риска. Разбира се, очевидно моделите са модели и много пъти (както наблюдаваме с кризата) те се провалят мизерно.