Небесна динамика
Дейности
| На тази страница изучаваме движението на тяло с маса м когато се изстрелва от точка по оста X на разстояние r1 на фиксирания център на силите, с нарастващи скорости v1 перпендикулярна на радиусния вектор. |
Законите на Кеплер описват движението на планетите около Слънцето, без да се изследват причините, които произвеждат такова движение.
1.-Планетите описват елиптични орбити със Слънцето в един от фокусите му.
2. -Векторното положение на която и да е планета по отношение на Слънцето, обхваща равни области на елипсата за равни времена.
3.-Квадратите на периодите на революция са пропорционални на кубовете на полуосите на елипсата.
Законите на Нютон не само обясняват законите на Кеплер, но и предсказват други траектории за небесните тела: притчи и хиперболи. По принцип тяло под действието на гравитационната сила на привличане ще опише равнинна траектория, която е конична.
Както бе споменато, централните и консервативни свойства на силата на привличане между небесно тяло и Слънцето определят система от две диференциални уравнения от първи ред, които когато се изразяват в полярни координати, водят до уравнението на траекторията, конична.
Интерактивната програма протича по друг начин, тя изчислява компонентите на ускорението по оста X и по оста Y, пораждайки система от две диференциални уравнения от втори ред, които се решават чрез цифрови процедури.
Числово решение на уравненията на движението
Да предположим, че частица маса м (планета) е привлечена от масивно тяло от маса М (Слънцето) Ще приемем, че влиянието на частицата върху тялото е незначително, като остава в покой в началото.
Частицата е подложена на привлекателна сила F чиято посока е радиална и сочи към центъра на Слънцето. Модулът на силата е даден от закона за всеобщата гравитация
Компонентите на силата са
Прилагайки втория закон на Нютон и изразявайки ускорението като второ производно на позицията, имаме система от две диференциални уравнения от втори ред.
Като се имат предвид началните условия (позиция и начална скорост), системата от две диференциални уравнения може да бъде решена чрез прилагане на числовата процедура на Рунге-Кута.
Везни
Преди да решите системата от диференциални уравнения чрез числови процедури, е удобно да ги подготвите така, че компютърът да не обработва прекалено големи или малки числа.
Установяваме система от единици, в която географската дължина се измерва в астрономически единици, средното разстояние между Слънцето и Земята. L= една AU = 1,496 · 10 11 m и времето в годишни единици, P= една година = 365,26 дни = 3,156 10 7 s.
В новата система от единици x = Lx ’, t = P · t ’, се записва първото диференциално уравнение
Какво L е полу-голямата ос на земната орбита около Слънцето, P е периодът или времето, необходимо за извършване на пълна революция, и М е масата на Слънцето. По третия закон на Кеплер, терминът
Връщайки се към нотацията х и Y. за позиция и т за време в новата единична система. Написана е системата от диференциални уравнения
Принцип на запазване на енергията
Общата енергия на частицата е константа на движение. Енергията на масовата частица м в началния миг т= 0 е
Кога E0 Както виждаме R съответства на параметъра д, намеса в уравнението на елипсата в полярни координати.
Известни r1 Y. v1 изчисли r2 Y. v2.
Известна позиция r1 и скорост v1 в момента на изстрелване, като прилагаме постоянството на енергията и ъгловия момент, изчисляваме скоростта v2 и разстояние r2 към центъра на силите. След някои операции получаваме скоростта v2 базиран на r1 Y. v1
(1)
Нарича се скорост на бягство отивам на частица, която е на разстояние r1 от центъра на силите, със скоростта, която трябва да осигурим, за да достигне безкрайност с нулева скорост
Например, скоростта на бягство от повърхността на Земята е r1= 6,37 · 10 6 m, М= 5,98 10 24 кг е отивам= 11190,7 m/s
Можем да изразим скоростта v2 по отношение на скоростта на бягство отивам
Получаваме разстоянието r2 към центъра на силите от постоянството на ъгловия момент
Ако сателитът се изстреля със скорост vc такъв, че
описват кръгова орбита с радиус r.
Можем да проверим във формула (1), че ако спътникът следва кръгова орбита, тогава v2=v1
В случай на изкуствени спътници, обикалящи Земята
Ако скоростта на стартиране v1 е по-малко от vc изходната точка е апогеят.
Ако скоростта на стартиране v1 е по-голямо от vc стартовата точка е перигея.
На фигурата червената пътека е кръгла.
Примери:
Пример 1. Земя
Земята описва приблизително кръгла орбита с радиус r= 1,496 · 10 11 m = 1 AU. Прилагайки динамиката на равномерното кръгово движение, ние изчисляваме скоростта на Земята. Знаейки, че масата на Слънцето е М= 1,98 10 30 кг, скоростта на Земята е v= 29711,8 m/s. В единичната система, установена в първия раздел
- Дължината се измерва в L= 1,496 10 11 m
- Времето се измерва в P= една година = 365,26 дни = 3,156 10 7 s.
скорост v ' добре v = v 'L/P
v '= 6 268 AU/година
Времето, необходимо за извършване на пълна революция е P= 1 година
Когато въвеждаме в интерактивната програма х= 1,0 и vy= 6,27, получаваме кръгов път около Слънцето.
Пример 2. Марс
Най-близкото разстояние до Слънцето (перихелия) е r1 = a-c = a-εa =1 382 AU = 2 068 10 11 m
Най-отдалеченото разстояние от Слънцето (афелия) е r2 = a + c = a + εa =1,666 AU = 2,449 · 10 11 m
v1= 26420,7 m/s = 5,573 AU/година
Когато въвеждаме в интерактивната програма х= 1,382 и vy= 5.573, получаваме елиптичния път на Марс около Слънцето и времето, необходимо за извършване на една пълна революция P= 1,86 години.
Дейности
В аплета, който съдържа тази страница, ще бъдат проследени траекториите, които описват небесните тела. Ще се провери постоянството на енергията, ще се провери дали ъгловият момент е постоянен в позициите на максимална близост или на максимално разстояние и накрая ще бъде проверен третият закон на Кеплер, измерващ периода и полумажора оста на елипсата.
Положението и началната скорост на небесното тяло се въвеждат:
- Началната позиция х, наредената y = 0
- Y компонентът на началната скорост vy, X компонентът на скоростта vx = 0.
Натиснете бутона със заглавие Започва,
Траекторията на мобилния се проследява, като в същото време се показва в лявата част на аплета, как стойностите на позицията и скоростта се променят с течение на времето. Ще забележим, че енергията и ъгловият импулс остават постоянни.
В долния ляв ъгъл процентът на грешка е показан в синьо. Когато е по-голямо от единството, интерактивната програма спира. Както виждаме, най-високите проценти на грешка се получават, когато частицата преминава много близо до фиксирания център на силите.
Натиснете бутона със заглавие Пауза, да спре движението, например, когато планетата премине през най-близкото или най-отдалеченото положение, да измери полу-голямата ос, скоростта в тази позиция и полупериода (половината от времето, необходимо на небесното тяло да направи един завъртане завършен).
Натиснете същия бутон, който вече е озаглавен Продължавай, да възобнови движението.
Бутонът се натиска няколко пъти. Той премина, за да се движи тялото стъпка по стъпка, тя се използва, за да се доближи до желаната позиция.
Когато орбитата е завършена, първоначалната скорост в AU/година на ново тяло се въвежда, без да се променя позицията, и бутонът се натиска. Започва. Неговата траектория е проследена в различен цвят.
И накрая, първоначалната позиция се променя х и отново се въвеждат различни стойности на скоростта vy.
Когато са натрупани няколко траектории, щракнете върху бутона Изтрива за почистване на работното пространство на аплета
Въвеждане на началната позиция на мобилния телефон Rp и началната скорост Vp, последователните позиции на планетата се нанасят на фиксирани интервали от време.
Щракване върху бутоните Пауза Y. Той премина, Ще бъдат взети следните данни и ще бъде попълнена таблица като следната.