Твърда твърда
Дейности
Люлката се използва по два различни начина:
Дете седи на дъската и човек периодично и във фаза с движението си натиска, за да увеличи или поддържа амплитудата на трептенията на люлката.
Дете, което е монтирано на люлка, изправено на дъската, движи тялото си, за да увеличи амплитудата на трептенето.
За да обясним качествено работата на тази самоходна люлка, ще приемем, че центърът на масата на детето внезапно се издига или пада в определени позиции на трептенето.
Ще бъде извършен опростен анализ, при който детето се разглежда като точкова маса, разположена в центъра на масата, която може да повдига или понижава своята c.m. дължина δ чрез действието на вътрешните сили. Триенето на въздуха и оста на люлката също ще бъдат пренебрегнати.
Етапи на движение
В този раздел ще направим подробен анализ на всеки от етапите на цикъл от люлеещи се трептения.
Първи етап
Люлката напуска позицията θ0 с нулева начална ъглова скорост ω= 0. Достигнете равновесно положение θ= 0, с ъглова скорост ω1, което се изчислява чрез прилагане на принципа за запазване на енергията.
където md 2 е моментът на инерция на точкова маса м колко далеч д на оста на въртене O.
Първоначалната обща енергия е Е1=mgd(1-cosθ0)
Втори етап
Когато люлката достигне позицията за баланс θ= 0, детето повдига центъра на масата (c.m.) на разстояние δ. В този точен момент моментът на силите, действащи върху люлеенето, е нула (всички сили преминават през начало O), ъгловият момент остава постоянен.
Началният ъглов момент е md 2 ω1
Крайният ъглов момент е m (d-δ) 2 ω2
Крайна ъглова скорост ω2 се увеличава с намаляването на разстоянието до оста на въртене.
Общата енергия е
Енергиен баланс
Изчисляваме в равновесно положение θ= 0, началната енергия, крайната енергия и работата, която вътрешните сили упражняват, за да вдигнат височина δ детския център за маса.
Първоначалната енергия е
Крайната енергия е
За детето да повдигне позицията на своя център на маса δ, трябва да свърши работа. Минимална сила F че трябва да упражняват мускулите си, трябва да компенсират сумата от теглото mg и центробежната сила mω 2 x. Битие х разстоянието от центъра на масата до оста на въртене O.
Постоянството на ъгловия момент в равновесно положение θ= 0 ни дава стойността на ъгловата скорост ω когато c.m. е на разстояние х на оста на въртене O
md 2 ω1= mx 2 ω
Силата F има същия смисъл като преместването, работата е положителна
Установихме, че работата, извършена от вътрешните сили за повишаване на c.m. е равна на разликата между крайната и началната енергия.
Трети етап
Сега имаме обратната ситуация на първия етап, люлеенето с начална ъглова скорост ω2 в позицията θ= 0, достига максимално ъглово изместване θ1. Прилагане на принципа за запазване на енергията
Максималният ъгъл θ1 че люлката се отклонява е, комбинира предишните изрази
Какво d>(d-δ) се оказва, че θ1>θ0
Общата енергия е
Е2=mg(д- δ) (1-cos θ1)+mg δ = mgd (1-cos θ1)+mg 5 cos θ1
Четвърти етап
При ъглово положение на максимално отклонение θ1, ъглова скорост ω= 0. Детето понижава позицията на своя център на масата в δ.
Единствената промяна, която претърпява системата, е намаляване на потенциалната енергия поради работата на вътрешните сили. Поставяне на оста O при нулево ниво на потенциална енергия.
ΔЕп=-mgdcosθ1+mg(d-δ) cosθ1= -mgδcosθ1
Общата енергия е
Пети етап
Подобно на първия етап, люлеенето се придвижва към стабилната позиция на равновесие θ= 0, което достига с ъглова скорост ω3. Прилагане на принципа за запазване на енергията
Общата енергия е E3
Шести етап
Шестият етап е подобен на втория етап. В стабилно равновесно положение центърът на масата се издига на височина δ. Ъгловата скорост отново се увеличава от ω3 да се ω4. Постоянството на ъгловия момент в стабилно равновесно положение θ= 0, ни дава стойността на крайната ъглова скорост ω4.
Общата енергия е
Седми етап
Седмият етап е подобен на третия етап. Махането започва от стабилно равновесно положение θ= 0, с начална ъглова скорост ω4, достигайки максимално изместване θ2 получени чрез прилагане на принципа за запазване на енергията
Какво ω4> ω3 максималното изместване θ2 > θ1
Свързваме двете измествания, използвайки формулата
Общата енергия е
Е4=mg(д- δ) (1-cos θ2)+mg δ = mgd (1-cos θ2)+mg 5 cos θ2
Осми етап
Общата енергия е
Махайте уравнения за движение между средни и крайни позиции
Уравнението на движението на люлеенето между крайни позиции θi (i = 0, 1, 2,3 .) и стабилното равновесно положение θ =0, е същото като това на махало с дължина l = d, l = d-δ, в зависимост от разстоянието между c.m. и оста O на люлката.
Ъглов момент на частица с маса м по отношение на произхода O е произведение на момента на инерцията мл 2 по ъглова скорост ω, L = ml 2 ω
Момента М на силите, действащи върху частицата по отношение на произхода O е
М = -mglсенθ
Уравнението на движението е dL/dt = M се записва като диференциално уравнение
Началните условия зависят от всеки етап от движението:
- В първия етап, l = d, θ = θ0, dθ/dt =0
- в третия етап, l = d- δ, θ =0, dθ/dt = ω2
- на петия етап, l = d, θ = θ1, dθ/dt =0
- в седми етап, l = d- δ, θ =0, dθ/dt = ω4
- и така нататък.
обобщаваща
Люлката първоначално трябва да се компенсира с ъгъл θ0> 0, за да може механизмът, описан на тази страница, да работи.
C.m. на детето се издига и пада моментално от действието на вътрешни сили, в равновесно положение и в позиции на максимално изместване.
Чрез описания механизъм работата на вътрешните сили (действието на мускулите) се инвестира в увеличаване на максималното изместване на люлката, така че θ0 δ/d от c.m. на детето в крайни позиции и в средата на трептенето.
Пример
Първоначалното ъглово изместване θ0= 10є
Изместването на м.кв. δ= 6см = 0,06м
Стартово разстояние д= 1,0 между c.m. и ос на въртене O.
На фигурата е показан пълен цикъл на люлеене
1.-Началната енергия е Е1=mgd(1-cosθ0) =м9,8 1,0 (1-cos10є) = 0,15м
2.-Приложен е принципът за енергоспестяване. Ъглова скорост ω1 в равновесно положение е
3.-Центърът на масата се издига, ъгловият момент се запазва
md 2 ω1 = m(d-δ) 2 ω2, ω2 = 0,62 rad/s
Общата енергия е
4.-Кинетичната енергия се преобразува в потенциална енергия, люлеенето се отклонява под ъгъл θ1
5.-Центърът на масата се спуска надолу, общата енергия е
E5=м9.8·1 (1-cos11є) = 0,18м
6.-Приложен е принципът за запазване на енергията. Ъглова скорост ω3 в равновесно положение е
7.-Центърът на масата се издига, ъгловият момент се запазва
md 2 ω3 = m(d-δ) 2 ω4, ω4 = 0,68 rad/s
Общата енергия е
8.-Кинетичната енергия се преобразува в потенциална енергия, люлеенето се отклонява под ъгъл θ2
9.-Центърът на масата се спуска надолу, общата енергия е
E9=м9.8·1 (1-cos12є) = 0,22м
10.-Започва нов цикъл.
Максималните измествания могат да бъдат изчислени с помощта на формулите
Прилагаме същата формула за изчисляване на максималното изместване θ2, известни θ1.
и така нататък.
Интерактивната програма е проектирана така, че максимално да се измества θi (i = 0, 1, 2,3 .) не расте безкрайно. Когато това изместване надвишава 75є, усещането за δ. C.m. понижава, когато люлката преминава през позицията на баланса θ =0 чрез намаляване на ъгловата скорост, вместо да я увеличава. От енергийна гледна точка ще кажем, че вътрешните сили вършат отрицателна работа, която прави крайната енергия по-малка от първоначалната.
Люлеенето намалява в амплитуда във всеки цикъл на своето колебателно движение, докато спре след теоретично безкрайно време. На практика триенето с въздуха и оста и други променливи, които не са взети предвид в този опростен модел, водят до спиране след определено време.
Дейности
Първоначалното ъглово изместване θ0> 0, ъгъл в градуси в заглавието на контролата за редактиране Стартов ъгъл
Изместване δ от центъра на масата, в cm, избра число в контролната селекция, озаглавено Водоизместимост c.m.
Началното разстояние на c.m. към оста на въртене O е зададено на д= 1,0 m.
Натиснете бутона със заглавие Започва
Наблюдава се движението на люлката и промяната на положението на c.m. на детето, представено с червена точка, когато люлката преминава през позициите на максимално изместване ω= 0, за стабилното равновесно положение θ= 0.
От дясната страна на аплета се показва общата енергия на люлеенето. Нулевото ниво на потенциална енергия е установено в долната част на траекторията на cm, т.е. в позицията на cm. когато люлката е в баланс θ0= 0. Можем да наблюдаваме къде общата енергия се променя и къде се запазва, трансформирайки потенциалната енергия в кинетична енергия и обратно.
Препратки
Tea P., Falk H. Изпомпване на люлка. Am. J. Phys. 36 (1968) 1165-1166