Двама математици показват, че при определени условия уравненията на Навие-Стокс дават резултати, които нямат смисъл.

хилядолетието

Уравненията на Навие-Стокс са едновременно изключително практични, с безкрайни реални приложения, както и произходът на един от най-трудните и известни чисто математически задачи на все още неизвестно решение [NASA, фрагмент].

Уравненията на Навие-Стокс улавят с няколко кратки термина една от най-повсеместните характеристики на физическия свят: потока на течностите. Уравненията, датиращи от 1820-те години, се използват днес за моделиране на всичко - от океанските течения до турбуленцията вследствие на самолет или потока на кръв в сърцето.

Физиците смятат, че това са уравнения с бомбоустойчива надеждност. Математиците, от друга страна, ги гледат с подозрение. За математиците не означава много, че изглежда работят. Те искат доказателство за неговата непогрешимост, че без значение каква течност е, независимо колко далеч в бъдещето се предвижда нейният поток, математиката на уравненията все пак ще работи. Тази гаранция им се изплъзва. Първият (или първият екип), който покаже, че уравненията на Навие-Стокс винаги работят, или да даде пример, че не го прави, ще спечели наградата от милион долара, която Институтът по математика на Клей предлага на тези, които го правят, като например един от така наречените проблеми от седем хилядолетия.

Математиците са създали много начини да се опитат да разрешат проблема. Нова работа, публикувана онлайн през септември 2017 г., повдига сериозни въпроси за това дали основен сред тези подходи, който е следван с течение на времето, ще успее. Докладът на Тристан Бакмастър и Влад Викол от Принстънския университет е първият резултат, който установява, че при определени предположения уравненията на Навие-Стокс предоставят несъответстващи описания на физическия свят.

Ето как могат да бъдат сложните нестабилности при еволюцията на две течности, които се движат една до друга с различна скорост. Математиците искат да знаят дали уравненията на Навие-Стокс винаги предлагат еволюция и само една от първоначално състояние [Mark Stock].

„Получаваме представа за проблемите, присъщи на тези уравнения и защо е много възможно те да бъдат преосмислени“, казва Buckmaster.

Работата на Buckmaster и Vicol показва, че когато е разрешено плътно проследяване на решенията на уравненията на Навие-Стокс (по-скоро като скица, отколкото снимка), уравненията започват да дават резултати, които нямат смисъл: те казват, че същото течността, започвайки от едни и същи начални условия, може да завърши в две (или повече) много различни състояния. Може да тече по един или друг начин съвсем различно. Ако е така, уравненията няма да отразяват надеждно физическия свят, за който са проектирани.

Уравнения, които експлодират

За да видим как уравненията могат да се провалят, нека първо си представим потока на океанско течение. В тях може да има множество пресичащи се токове, като някои части се движат в една посока с една скорост, а други се движат в други посоки с други скорости. Тези пресичащи се токове си взаимодействат във непрекъснато развиваща се взаимна игра на триене и налягане на водата, която определя начина на протичане на потока.

Математиците моделират тази взаимна игра с карта, която ни казва посоката и големината на тока при всяка позиция на течността. Тази карта, която се нарича векторно поле, е моментна снимка на вътрешната динамика на флуида. Уравненията на Навие-Стокс правят тази снимка и я обръщат напред във времето, така че ни казват как ще изглежда това векторно поле във всеки следващ момент.

Уравненията работят. Те описват флуидните потоци толкова надеждно, колкото Нютон прогнозира бъдещите позиции на планетите; физиците ги използват нон-стоп и от време на време се съгласяват с експерименталните резултати. Математиците обаче искат повече от анекдотично потвърждение: те искат доказателство, че уравненията са неприкосновени, че няма значение от кое векторно поле започвате и че няма значение колко далеч в бъдещето ще започнете. уравненията винаги ще ни дадат уникално векторно поле.

Това е предмет на съответния проблем на хилядолетието: той пита дали уравненията на Навие-Стокс имат решения (където решенията са по същество векторни полета) за всички изходни точки и всички моменти от времето. Тези разтвори трябва да осигуряват точната посока и величина на тока във всяка точка на флуида. Решенията, които предоставят информация с такава безкрайно голяма резолюция, се наричат ​​„гладка“ или „гладка“. С плавно решение, всяка точка в полето има асоцииран вектор, който ни позволява да пътуваме „плавно“ през полето, без никога да се забиваме в точка, която няма вектор, точка, в която не знаем къде да отидем следващия.

Гладките решения са пълно представяне на физическия свят, но математически казано те не винаги могат да съществуват. Математиците, които работят с уравнения като Навие-Стокс са загрижени за този тип ситуация: стартират се уравненията на Навие-Стокс и се наблюдава промяна на векторното поле, но след краен период от време уравненията ни казват, че частица от течността се движи безкрайно бързо. Това е проблем. Уравненията предполагат измерване на промените в свойствата като налягане, триене и скорост във флуида (на жаргон те вземат "производни" на тези величини), но не е възможно да се изведе производната на безкрайна стойност повече от It се дели на нула. Така че, ако уравненията дават безкрайна стойност, можем да кажем, че уравненията са се провалили или че са „експлодирали“. Те вече не описват последващите състояния на нашата течност.

Това, че експлодират, също е силна индикация, че в нашите уравнения липсва нещо, съответстващо на физическия свят, който те трябва да опишат. „Може би уравнението не улавя всички ефекти на реалния флуид, защото в истински флуид не очакваме“, че частиците някога могат да се движат с безкрайна скорост, казва Бъкмастър.

За да разрешите проблема на хилядолетието, трябва да покажете, че уравненията на Навие-Стокс никога не експлодират или не намират обстоятелствата, при които се случват. Една стратегия, която математиците са следвали, е първо да се отпусне точността, с която се изискват уравнения за описване на реалността.

От слаб към мек

Когато математиците изучават уравнения като Навие-Стокс, те понякога започват с разширяване на дефиницията на това, което се брои за решение. Гладките решения изискват максимална информация: в случая Navier-Stokes те изискват вектор да присъства във всяка точка на векторното поле, свързано с течността. Но какво ще стане, ако изискванията се разхлабят и се установи, че е необходимо само да се изчисли вектор за някои точки или да е достатъчно, за да се получат приблизителни вектори? Този тип решения се наричат ​​„слаби“. По този начин математиците могат да започнат да добиват представа за поведението на уравнение, без да се налага да преминават през цялата работа по намирането на гладки решения (което може да е невъзможно на практика).

„От определена гледна точка слабите решения са дори по-лесни за описване, отколкото истинските решения, защото трябва да знаете много по-малко“, казва Камило Де Лелис, съавтор на Ласло Секелихиди в няколко важни статии, поставили основата на работата на Букмастър. и Викол.

Има градации на слабост към слаби решения. Ако гладкото решение се разглежда като математическо изображение на флуид до безкрайно голяма разделителна способност, тогава слабите решения ще бъдат като 32, 16 или 8 битовата версия на това изображение (в зависимост от това колко слаби могат да имат).

През 1934 г. френският математик Жан Лерей дефинира важен клас слаби решения. Вместо да работят с точни вектори, "решенията на Leray" вземат средната стойност на векторите в малки квартали във векторното поле. Лерей доказа, че винаги е възможно да се решат уравненията на Навие-Стокс, когато на решенията е позволено да приемат тази конкретна форма. С други думи, решенията на Leray никога не експлодират.

Постижението на Leray установи нов подход към проблема с Navier-Stokes: започнете с решенията на Leray, за които е известно, че винаги съществуват, и вижте дали можете да ги превърнете в меки решения, които искате да докажете, че винаги съществуват. Това е процес, подобен на това да започнете с грубо изображение и да видите дали можете да прецизирате разделителната способност и да получите перфектно изображение на нещо реално.

„Една от възможните стратегии би била да се покаже, че тези слаби решения на Leray са меки и ако ги покажете като меки, ще сте решили проблема на хилядолетието“, казва Buckmaster.

Има още един улов. Решенията на уравненията на Навие-Стокс съответстват на реални физически събития и физическите събития се случват по един и единствен начин. Тъй като това е така, ще искате уравненията да имат един набор от решения. Ако уравненията дават множество възможни решения, те се провалят.

Поради тази причина математиците могат да използват решенията на Leray за решаване на проблема от хилядолетието само ако решенията на Leray са уникални. Това, че решенията на Leray не са уникални, би означавало, че според правилата на Navier-Stokes, абсолютно една и съща течност с абсолютно еднакви начални условия може да попадне в две различни физически състояния, което няма никакъв физически смисъл и какво следва от уравненията всъщност не описват това, което те трябва да опишат.

Новият резултат от Buckmaster and Vicol е първият, който показва, че при определени дефиниции на слабо решение това може да се случи.

В новата статия Buckmaster и Vicol взеха предвид дори по-слабите решения от Leray: те се основават на същия принцип на осредняване като Leray, но те облекчават допълнително изискване (така нареченото енергийно неравенство). Те използват метод, известен като изпъкнала интеграция, който води началото си от работата по геометрията на математика Джон Неш и който Де Лелис и Секелихиди наскоро доведоха до изследването на флуидите.

Използвайки този подход, Buckmaster и Vicol показват, че тези много слаби решения на уравненията на Навие-Стокс не са уникални. Те показват например, че ако започнете с напълно спокойна течност, като чаша вода, тихо кацнала до леглото, има две възможни ситуации. Първото е очевидното: водата започва спокойна и спокойствието продължава завинаги. Вторият е фантастичен, но математически допустим: водата започва спокойна, изригва посред нощ и се връща към спокойствие.

"Това показва, че няма уникалност, тъй като поне два обекта могат да бъдат конструирани от първоначални нулеви данни", казва Nicol.

Buckmaster и Vicol демонстрират съществуването на много не уникални слаби решения (не само двете, описани по-горе) на уравненията на Навие-Стокс. Уместността на този резултат остава да се види. В определен момент слабите решения могат да станат толкова слаби, че вече не са наистина подходящи за по-меките решения, които искат да подражават. Ако е така, резултатът от Buckmaster и Vicol може да не стигне много далеч.

„Резултатът му със сигурност е предупреждение, но може да се твърди, че е предупреждение за по-слабото понятие за слабо решение. Има много слоеве [от по-силни решения], в които все още може да се очаква много по-добра производителност ”от уравненията на Навие-Стокс, казва Де Лелис.

Buckmaster и Vicol също мислят в слоеве и са насочили вниманието си към решенията на Leray, доказвайки, че и те позволяват физика с много траектории, при която една и съща течност може да заеме от една и съща позиция в повече от една бъдеща форма.

„Тристан и мисля, че решенията на Leray не са уникални. Все още не сме го показали, но нашата работа полага основите на начина, по който може да се реши проблема “, казва Викол.

Кевин Хартнет/Списание Quanta