Твърда твърда
Дейности
Повечето учебници, когато въвеждат принципа за запазване на ъгловия импулс, споменават, че скейтърът увеличава ъгловата си скорост на въртене, като приближава ръцете и краката си до тялото. Пренебрегвайки силата на триене между кънките и леда, няма момент на външните сили.
За твърдо твърдо тяло, въртящо се около главната ос на инерция L= Азω.
Увеличението на ъгловата скорост се обяснява с намаляването на момента на инерция.
Написан е принципът за запазване на ъгловия импулс за скейтъра I1 ω1=I2 ω2
Запазване на ъгловия момент
На тази страница е описан скейтър модел, състоящ се от система, образувана от твърд прът и две маси, които могат да се плъзгат без триене по пръта. Прътът представлява тялото, а плъзгащите се масират ръцете и краката, действието на мускулите е представено посредством две пружини, които свързват краищата на пръта с всяка от плъзгащите се маси. Системата може да се върти около ос, перпендикулярна на пръта и преминаваща през центъра му.
На фигурата виждаме системата, образувана от
Тънка твърда пръчка от тесто М и дължина 2R
Две равни плъзгащи се маси м /По 2 броя
Две равни постоянни еластични пружини к, които са конструирани така, че тяхната недеформирана дължина е равна на R. Всяка пружина е прикрепена към единия край на пръта, а другата е прикрепена към плъзгащата се маса.
Първоначално системата се върти около оста, преминаваща през О, с постоянна ъглова скорост ω0. Устройство държи двете плъзгащи се маси на разстояние r0 От оста. Ще определим ъгловата скорост на въртене, когато двете плъзгащи се маси се освободят.
Началният ъглов момент е
първият член в скоби Ив, е моментът на инерция на пръта Iv = M(двеR) 2/12 = Г-Н 2. 3,
вторият член е моментът на инерция на двете равни маси м/ 2 отдалечени r0 на оста на въртене.
Крайният ъглов момент, когато двете плъзгащи се маси се срещнат в началото r= 0, е
С намаляването на инерционния момент ъгловата скорост на въртене се увеличава ω>ω0.
Движение на плъзгащите се маси
Ще проучим движението на двете плъзгащи се маси, от началното състояние до края.
Намираме се в неинерционната референтна система, която се върти с пръта с ъглова скорост ω. На всяка от масите (м/ 2), разположени на разстояние r на оста на въртене се упражняват следните сили:
Компресираната пружина упражнява сила F=-k r
Под действието на тези сили масата м/ 2 изпитва ускорение да се в радиална посока, по дължината на пръта
Написан е вторият закон на Нютон
Сега ъгловата скорост на въртене ω, не е постоянна, зависимостта му от r се получава от запазването на ъгловия момент L =(Iv + mr 2 )ω,
Диференциалното уравнение, което описва движението на маса в радиалната посока, т.е. в референтната система, движеща се с пръта, е
Ние интегрираме това диференциално уравнение чрез числови процедури със следните начални условия: в момента т= 0, радиалната скорост на масата dr/dt= 0 и разстоянието му до оста r=r0.
Криви на потенциалната енергия
Първоначалната енергия на системата, когато масите са обект, е сумата от
кинетичната енергия на двете маси, движещи се с тангенциална скорост ω0 r0.
кинетичната енергия на въртене на пръта, движеща се с ъглова скорост ω0
еластичната енергия, съхранявана в двете компресирани пружини r0.
Сборът от първите два члена е кинетичната енергия на въртене на системата, образувана от пръчката и двете маси.
Когато двете маси се освободят и се срещнат на разстояние r на оста на въртене. Енергията на системата, образувана от пръчката, двете маси и двете равни еластични пружини, се записва в полярни координати
Първият член е кинетичната енергия на двете маси, която от своя страна се състои от два термина:
Първото производно dr/dt това е скоростта в радиалната посока, скоростта на масата, плъзгаща се по пръта;
Второто производно е скоростта в тангенциална посока dθ/dt = ω, каква е ъгловата скорост на въртене на пръта.
Вторият член е кинетичната енергия на въртене на пръта
Третият член е еластичната енергия, съхранявана в двете пружини
Като се има предвид, че ъгловият момент е постоянен, можем да запишем енергията И на системата като функция на r и неговото производно dr/dt,
Разделяме енергията И между двете равни маси можем да считаме, че всяка от тях се движи в ефективен потенциал
Резултантната сила върху всяка от масите се получава чрез извличане на потенциалната енергия и промяна на знака.
че както виждаме е разликата между центробежната сила и силата, упражнявана от компресираната пружина.
На фигурата имаме представяне на ефективния потенциал на двете маси, напускащи първоначалното положение r0, с радиална скорост dr/dt= 0. Ако вашата обща енергия е И (хоризонтална линия), масите пристигат в началото r= 0 след определено време.
Когато масите са на разстояние r на началото, неговата ефективна потенциална енергия е представена от вертикален червен сегмент и от син сегмент, кинетичната енергия, съответстваща на движението му в радиалната посока, по дължината на пръта.
Ще забележим, че ъгловата скорост на въртене ω, расте до максимум, когато масите се придържат към оста.
| На фигурата имаме различна ситуация, масите излизат от първоначалната позиция r0, с радиална скорост dr/dt= 0. Ако вашата обща енергия е И, не достигат оста на въртене, а я приближават на разстояние r1, сменете посоката на скоростта, отдалечете се от оста, докато достигнат първоначалната изходна позиция и по този начин продължете да трептете в радиалната посока. |
Ще забележим, че ъгловата скорост на въртене ω, расте, докато достигне максимум, когато масите се приближат към оста и след това намаляват, когато се отдалечат от оста.
Разстояние r1 Можем да го изчислим, като поставим dr/dt= 0 в израза на общата енергия И. Получаваме уравнение от четвърта степен в r което можем да намалим до квадратно уравнение, чиито решения са r0 Y. r1. Вижте пример 2 по-долу.
| Ако еластичната константа, к тя е малка и масите са големи, когато се освободят, те се отдалечават от централната ос, докато достигнат краищата на пръта. |
Примери
Маса на двата блока м= 0,5 кг
Константа на всяка пролет к= 1 N/m
Първоначално разстояние до оста на въртене r0= 0,6 m
Моментът на инерция на пръта Ив= 1/12 kg m 2
Началната ъглова скорост на въртене е ω0= 1 rad/s
Наблюдаваме, че след определено време масите се придържат към оста на въртене
Началният ъглов момент е
Крайният ъглов момент е
L= (1/12)ω
Крайната ъглова скорост на въртене е ω= 3,16 rad/s
Със същите данни от предишния пример, ние променяме ъгловия момент, варирайки разстоянието до оста на въртене на двете маси r0= 0,9.
Началният ъглов момент е
Енергията на системата, образувана от двете маси, пръчката и двете пружини е
Двете маси се придвижват към началото, но те се връщат, променяйки посоката на своята радиална скорост, когато са на разстояние r1 което се изчислява чрез поставяне dr/dt= 0 в израза на общата енергия И базиран на r.
След някои операции ни остава уравнението
двеmkr 4 +две (Ivk-mE)r 2 +L 2 -двеIvE= 0
С данните от този пример
r 4 -0,8875r 2 +0,0628 = 0
Заместване x = r 2 имаме квадратно уравнение, чиито корени са x1= 0,81 и x2= 0,0775 или съответстващите им r1= 0,9 и r2= 0,28.
Ъглова скорост ω въртенето е максимално за r= 0,28 m
L= (1/12 + 0,5 0,28 2)ω
от постоянството на ъгловия момент, който получаваме ω= 3,98 rad/s
Маса на двата блока м= 2 кг
Константа на всяка пролет к= 0,2 N/m
Първоначално разстояние до оста на въртене r0= 0,6 m
Наблюдаваме, че двете маси се отдалечават от оста, докато достигнат краищата на пръта.
Началният ъглов момент е
Крайният ъглов момент за r= 1 m
L= (1/12 + 2 · 1 2) ·ω
Крайната ъглова скорост на въртене е по-малка от началната ω= 0,39 rad/s
Дейности
Маса м от двата блока в kg, в контролата за редактиране, озаглавена Масови блокове.
Еластичната константа к на всяка от пружините в N/m, в контрола за редактиране, озаглавена Cte. Док.
Началната позиция r0 на двете маси, тяхното разстояние от оста на въртене, действащо върху лентата за превъртане, озаглавено Позиция на блока.
Моментът на инерция на тънкия прът е зададен на Ив= 1/12 kgm 2
Първоначалната скорост на въртене е фиксирана на ω0= 1 rad/s
Натиснете бутона със заглавие Ново.
Наблюдаваме въртенето на системата с ъглова скорост ω0= 1 rad/s, двете маси са разделени на разстояние r0 на оста на въртене посредством устройство.
Вдясно от аплета е представена ефективната потенциална енергия Vef (r) и общата енергия И на системата с хоризонтална линия. Кривата и линията се срещат в точката на абсцисата r0.
Натиснете бутона със заглавие Започва
Наблюдаваме движението на масите по пръта. В горната лява част на аплета са предоставени данните за разстоянията му до оста и ъгловата скорост на въртене ω на системата.