На какво се основава позиционната бройна система?

Основата на позиционната система за номериране показва броя на различните цифри, необходими за представяне на всички числа. В случая на десетичната бройна система те са десет: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, известни като арабски цифри. Той също така показва колко единици в първата позиция се равняват на една единица в следващата позиция вляво: десет. Това е много важно, ще го обясня по-подробно по-късно.

десетична

Ако основата на позиционната система за номериране е малка, се изискват малко различни символи и изчисленията (събиране и изваждане) са по-лесни за извършване, но големи числа се пишат дълго. Ако основата е голяма, се изискват много различни символи и изчисленията са по-сложни, но големите числа са по-малко дълги. Следователно 10 е добра основа за числова система.

Това ли е единствената система за номериране, която съществува?

Не, има още няколко, но това е най-практично, поради което използването му се е разпространило по целия свят. Това позволи математическо развитие, което беше спряно от други номерационни системи.

Между другото, ние наричаме цифрите, които използваме в десетичната бройна система, арабски числа, защото арабите са тези, които са ги донесли в Европа, въпреки че всъщност са проектирани от индианците.

Вавилонците нарисували клинове, за да представят числата, и използвали 60 като основа. Маите използваха точки и линии, а основата им беше 20. И двете числа са позиционни, така че те изискват символ, който да представлява нула.

Системи за номериране в други бази

Има и други бройни системи, които също използват арабски числа, но чиято основа е различна: двоична (основа 2), осмична (основа 8), шестнадесетична (основа 16, използвайте първите букви от азбуката, за да попълните липсващите символи), наред с други. Във всички тях основата е написана "10", което представлява 10 единици в десетичната система, 2 единици в двоичната система, 8 единици в осмичната система, 16 в шестнадесетичната система и т.н.

Което се поддава на писане и показване на нищо неподозиращ приятел на тази фраза, която ни позволява да се чувстваме научени:

„Има 10 типа хора: тези, които могат да четат двоични числа, и тези, които не го правят“

(10-те трябва да имат малък 2 като индекс, което показва, че числото е записано в база 2, но ние го пропускаме, за да видим кое лице прави читателят).

Произход на позиционните системи

Основни характеристики на позиционна бройна система

Всяка цифра има абсолютна стойност и относителна стойност според позицията си.

Стойността на всяка позиция е степен на числото, което е основата на системата. Брой единици, равни на основата, образуват единица от следния ред (вляво). И единица в едно положение е толкова пъти по-голяма от основата, отколкото единица вдясно от нея.

В единици мощността е нула и оттам надясно мощностите са отрицателни, а отляво положителни, което може да звучи контраинтуитивно.

Всичко по-горе ще бъде по-добре разбрано при разглеждането на тази таблица, съответстваща на десетичната бройна система:

Всяка позиция отговаря на ред, който се повтаря вляво: единици, десетки, стотици
На всеки три поръчки съответства клас, който се повтаря вляво: единици, хиляди
На всеки два класа съответства период: период на единиците, период на милиони и т.н.

Десетичният разделител

Десетичният разделител е символ, който разделя целочислената част от десетичната част на числото. В Мексико често се използва десетичната запетая (1.5), но в други страни десетичната запетая (1.5) или високата десетична запетая (1'5) се използва вместо точката.

Други страхотни функции

В позиционна система 1 на втора позиция струва повече от 9 на първа.

Той е адитивен, т.е. стойността на пълното число се дава от сумата на относителните стойности на всяка цифра:

324 = 300 + 20 + 4

Когато малките деца се учат да събират или изваждат, като първо декомпозират числата, им е по-лесно да разберат защо се „носят“ или „заемат“:

3¹4
+ 2 7
= 6 1

30 + 4
+ 20 + 7
= 50 + 11 = 61

Позицията избягва объркване: определена подредба на фигурите представлява число и само това. И по-дълго цяло число винаги ще бъде по-голямо от по-кратко, което не е случаят с римските цифри, където X е по-голямо от VIII. Следователно сравняването на числата е по-лесно в позиционната система за номериране.

Позицията има голямо значение за добавянето и изваждането като цяло, както при добавяне на цели числа, така и при добавяне на числа с десетични знаци.

Когато обучавате учениците да добавят, е много важно те да разберат, че трябва да подредят цифрите, съответстващи на всяка поръчка една под друга (използвайте десетичната точка като препратка към „центриране“ на количествата). При изваждане, в допълнение към горното, също е много важно да попълните менюто с нули, така че да има същите десетични знаци като изваждането. Например, за да извадите 23.5 по-малко 10.23 Трябва да се посочи, че в минутата има нула стотни, като тази:

23,5 0
- 10.23
= 13,27

Какво означава да си водеща нула?

От друга страна, при десетичните знаци добавянето на нула вдясно не променя стойността на числото, но добавянето му вляво (точно преди точката) разделя стойността му на 10:
0,25 -> 0,250 е същата стойност
0,25 -> 0,025 е 10 в пъти по-малки

Как да пишете и трансформирате числа в рамките на десетичната бройна система?

Нулите и имената на числата играят деликатна роля при изписването им. Ако не е дадено име, се приема, че са единици.

Двадесет хиляди триста четири (единици) се записват чрез поставяне на 2, където отиват десетките хиляди, 3, където отиват стотиците и четири, където отиват единиците. Останалите позиции се запълват с нули, като се помни, че вляво от 2 не са необходими или вдясно от десетичната запетая: 20 304

От друга страна, 315 хилядни се записват, като се поставят 5 на хилядно място, 1 едно място вляво и още 3 вляво. Важно е да напишете нула преди десетичната запетая, ако числото е по-малко от единица, за да е по-ясно и да не се бърка с петънце или нещо подобно.

Ако те бяха само 15 хилядни, това се записва, като поставите 5 на хилядно място, 1 едно място вляво и попълнете нули на мястото на единиците.

Ако учител тества способността ни и ни помоли да преобразуваме 93,6 стотни в десетки, това, което трябва да направим, е: да поставим тройката на стотното място (десетичната запетая върви точно след позицията, съответстваща на името, което са ни дали: стотни от всички други номера се настаняват, ето така:

След това числото се чете само чрез пренареждане на десетичната запетая в позицията, съответстваща на второто име, което ни дадоха: десетки, попълвайки нужните нули от едната или от другата страна. Следователно 93,6 стотни е равно на 0,0936 десетки

Нека опитаме назад: Колко десети са 7,04 стотици?

7,04 стотици е 7040 десети

Както всичко е лесно да се направи, ако разберете защо работи така и се погрижите за детайлите, особено за подреждането на всички нули, които позволяват да се разграничи 12 от 102, от 0,012 и т.н.

С малко практика вече не е необходимо таблицата да се използва като референция и само точката се "премества" наляво или надясно според заявената трансформация.

Затварям

Нашата бройна система е прекрасна, само с 10 цифри, знаейки стойностите на всяка позиция и разполагайки с достатъчно място, можем да напишем произволно число, което можем да си представим или изчислим.

Идентифицирането на неговите характеристики ни позволява да се възползваме от тях, когато правим операции с числа, например, можем да разберем защо това умножение изглежда така:

68
x 3 7
476
20 4 0
2516

Мястото е „обиколено“ 4 защото се умножава 3 0 x 8 = 2 4 0, не само на 3 .

Ако при преподаването се казва само „минаваш през едно място“ и не е обяснено защо, ученикът може да го забрави. Виждал съм, че някои ученици са помолени да поставят някакъв символ, за да запомнят, че трябва да започват по едно място вляво в даден момент. По-добре е да се обясни, че се умножава по двайсет и поставете нулата на нейно място, не мислите ли? Същото се отнася и за умножение с повече цифри, всички места, които се пресичат, могат да бъдат запълнени с нули вдясно, че макар и да не влияят върху сумата, те много помагат да се разбере какво се прави.

Между другото, от всички числови комбинации, които трябва да овладеем, за да имаме добър смисъл на числата (виж записа тук), тези, които водят до 10 са особено важни и са необходими по-често, тъй като те са в основата на нашата бройна система.

Както винаги, оценявам, че отделяте време да четете, разбирате и споделяте. Всички въпроси, можете да го напишете в коментарите. аз ще отговоря.

PD1: Все още не съм успял да вмъкна бутон в този раздел, който ви позволява да следите блога ... Съжалявам за неудобството при отиването на главната страница за това.

PD2: Искам да благодаря на тези две страници, на които постоянно разчитам, за да напиша блога: https://pixabay.com/ http://webresizer.com/

Някои данни, които получих от wikipedia. Направих няколко изображения в Word.