математически

В
В 		В

Персонализирани услуги

Член

  • Испански (pdf)
  • Статия в XML
  • Препратки към статии
  • Как да цитирам тази статия
  • Автоматичен превод
  • Изпратете статия по имейл

Индикатори

  • Цитирано от SciELO
  • Достъп

Свързани връзки

  • Подобно в SciELO

Дял

Акт Нова

версия В он-лайн В ISSN 1683-0789

RevActaNova.В том 3В номер 1В Кочабамба декември 2005 г.

Научна статия

Футбол и математика: симулационен модел на Монте-Карло *

Едуардо Пиза Волио

Изследователски център по чиста и приложна математика (CIMPA)
Университет на Коста Рика, Пощенски код 2060, Коста Рика.
имейл: [email protected]

1. Въведение

Започваме със споменаването, че в коста Риканската среда съществува голяма мотивация за разработването и прилагането на описания тук модел. Всъщност футболът е най-популярният спорт в Коста Рика: масов спорт, на който са любители хора от всяка възраст, пол и социално положение. Освен това, в определени периоди страстта към футбола е най-важната социална сила в страната, в степента, с която се развива животът на костариканците, над други въпроси като политика, работа, общото положение на страната и т.н. Същото явление се среща в много други страни по света, с по-малка или по-голяма интензивност.

Авторът има опит да разработи модел, много по-примитивен от настоящия, за да проучи вероятностите за класиране на националния отбор на Коста Рика до последното Световно първенство по футбол Франция 1998 [5].

2. Симулационен модел

От друга страна, в симулационните модели на Монте-Карло използването на добър алгоритъм за генератор на случайни числа е от основно значение, тъй като представлява сърцевината на случайната симулация. Във връзка с това трябва да се избягва използването на генератори от типа „конгруентни“ или „псевдослучайни“, които обикновено притежават традиционните програмни езици, тъй като тези генератори имат малки статистически пристрастия, които ги правят неподходящи в контекста на проучване. симулация. При изпълнението на нашия модел в PASCAL използвахме генератор на случайни числа от полуадитивен тип (от безкраен период), разработен от Knuth и цитиран в Press et. към. (1990), което се оказа подходящо в симулационни проучвания на Монте-Карло.

3. Данните на модела

Шон н броя на отборите, играещи турнира и к броят на местата за класиране. Например за турнира CONCACAF, n = 6 и k = 3. Програмата за симулация изисква следната информация по-долу:

В допълнение към горното, симулационната програма изисква определена допълнителна информация, която е: броят на точките, получени с победа (обикновено 3 в случай на футбол), броят на точките, получени с равенство (обикновено 1) и ако има е или няма дузпи с дузпи (не, в случая на КОНКАКАФ), когато има равенство. Тази допълнителна информация е предназначена за използване на модела с някои незначителни промени в други подобни спортни състезания.

4. Глобални предположения на модела

Симулацията се извършва под редица глобални или общи хипотези, които сега ще изброим:

1. При пълна липса на информация (например в началото на турнира), вероятността мачът да завърши равен е около 20,4%. Този процент е получен от статистическия анализ на резултатите от хиляди световни квалификационни футболни мачове през цялата история: приблизително 20,4% от мачовете завършват равенство, както е показано на фигура 1.

2. При липса на конкретна информация (например в началото на турнира), по време на симулация на мач, всеки отбор има еквивалентна вероятност за победа, т.е. около 39,8%.

3. Шансовете за равенство или победа за отборите във всяка симулирана игра се променят леко динамично, както е обяснено в следващия раздел, според промяната, използвана от използваните критерии.

4. Моделът взема предвид резултатите от предишните изиграни мачове в турнира, тъй като е един от най-важните параметри за установяване на разликите по отношение на текущата сила на отборите.

10. Моделът не отчита някои невероятни факти, които могат да възникнат по време на развитието на турнира, като например пристрастия, породени от съдийски грешки, смени на треньори, възможни контузии на важни играчи, неучастие на повиканите „легионерски играчи“ (които играят в лигите на други държави) и др. Тези невероятни факти са трудни за обективно моделиране, тъй като освен тяхната невъзможност на практика, ние научаваме само особеностите на случващото се с оборудването на нашите предпочитания, често не знаейки какви са трудностите на нашите противници.

В рамките на процеса на симулация, да предположим, че лицето на екипа ДА СЕ (домакински отбор) срещу отбор Б. (гостуващ екип) на датата (или часа) т. След това продължаваме да изчисляваме вероятностите pA(т), PE(т) Y PB(т) съответно, че A печели, има равенство или печели Б., където pA(т)+PE(т)+PB(т) = 1. Ясно е, че е достатъчно да се изчисли pA(т) Y PE(т), от PB(т) се изчислява чрез разлика. Тези вероятности са динамични или зависят от времето т, или дата, на която се играе играта. Временната променлива е пряко свързана с реда, в който са насрочени мачовете, т.е. календара на турнирите.

В началото на симулациите се изчислява вероятността за равенство PE(т) в 20.4 %, което е емпиричният процент на мачовете, завършващи с равен резултат според статистическите проучвания. С напредването на турнира тази вероятност PE(т) на равенство между отбора ДА СЕ срещу отбора Б. Изчислява се по следната формула:

В • Немп(т) е броят на мачовете в турнира, приключили равенство, преди датата т.

В • Ntot(т) е броят на турнирните мачове, които вече са изиграни преди датата т.

По този начин вероятността pE(т) на равенство между ДА СЕ Y. Б. тя адекватно отразява тенденцията на обвързани резултати, които турнирът е донесъл до момента, с горна граница от 25% и долна граница от 15%, стойности, които представляват вариация от 5% над и под средната стойност. Направен е анализ на чувствителността при избора на тези максимални и минимални граници на вероятността pE(т), доказвайки на практика, че изменението на тези спирки не оказва важно влияние върху получените резултати.

По-сложна е оценката на вероятността pA(т), че отборът домакин е победител ДА СЕ. Накратко, pA(т) се влияе от три основни фактора, а именно: (i) фактът че ДА СЕ е домакинът, което почти винаги е предимство за ДА СЕ (никога недостатък); (ii) изпълнението, постигнато до момента от екипа ДА СЕ в турнира, в сравнение с представянето, получено от отбора В; (iii) спортната история на отборите, отразена в официалната класация на FIFA, актуализирана към датата на мача.

В допълнение към тези основни фактори се намесва и четвърти вторичен фактор - наречен „фактор на невъзможност“, който включва друга подходяща информация за оценка на резултата, като например, ако някой от екипите ДА СЕ или Б. те вече са класирани или елиминирани, или ако някой от тях се класира с победа, или ще бъде елиминиран с поражение. Окончателната формула, използвана за изчисляване на вероятността pA(т) Това е както следва:

След като вероятностите са изчислени PA(т), pE(т) Y PB (t), процедирайте както следва, за да решите резултата от мача между ДА СЕ Y. Б: генерира се произволно число с равномерно разпределение в (0,1). Ако генерираното число е в интервала (0, PA(т)), тогава отборът се обявява за победител ДА СЕ. Ако генерираното число е в диапазона [PA(т), PA(т) +pE(т)], тогава играта се обявява за равенство. И накрая, ако генерираното число е в интервала [PA(т) + pE(т), 1), тогава гостуващият отбор се обявява за победител Б.

7. Класиране на коефициенти и магически точки

Следвайки описаните по-рано правила, въпросният турнир се завършва чрез симулация, повтаряйки този процес милиони пъти, колкото желаете. Половин милион симулации са повече от достатъчни за такива цели, тъй като изчислените вероятности вече не се различават в първите си 3 знака след десетичната запетая.

След това пристъпваме към изчисляване на дела, през който всеки участващ отбор получава класирането. В случаите, когато на квалификационните места има вратовръзки, се прилагат правилата за тайбрек, предвидени от FIFA, които са: (i) тайбрек за голова разлика; (ii) ако равенството продължава, то се прекъсва по броя на отбелязаните голове. В модела, ако равенството продължава, се използва шанс за избор на класифициран.

Освен това се изчислява делът на пъти, в които определен отбор - например Коста Рика - получава класирането с брой точки, по-голям или равен на определен предварително определен брой точки. По този начин се нарича точка таблица магически (вж. фигура 5), които отразяват вероятността въпросният отбор да се класира, в случай че успее да получи определен общ брой точки в края на турнира.

8. Заключителни коментари и някои заключения

Трябва обаче да се има предвид, че поради самото естество на спорта като футбола, в който случайно са включени случайни ситуации, както и голям брой неизмерими фактори, всеки математически модел от вероятностен тип има повече описателна стойност на реалност, която прогнозна стойност. Трябва да се разбере, че в основата си тази методология помага да се опише реалност въз основа на наличната до момента информация, предлагаща резултати под формата на вероятности. Но очевидно е невъзможно да се предскаже бъдещето със сигурност, особено в такъв случаен спорт като футбола. Сравнете например с резултатите, които могат да се очакват в други спортове като плуване, лека атлетика и шах, при които възникват по-малко изненади, отколкото във футбола.

Ниската предсказуема стойност на модела е аспект, който не винаги е бил добре разбран от спортната преса, която дава широко покритие на изчисленията, направени с този модел. Например, по един повод беше публикувана статия в един от най-разпространените вестници, много добре подготвена в цялото си съдържание, с изключение на заглавието на статията, което с големи букви гласи „Математикът предсказва класификацията на нашата селекция!.

Що се отнася до самия математически модел, някои аспекти могат да бъдат оспорени и моделирани по друг начин. При разработването на модела се следва политика за установяване на малък набор от работещи хипотези или фактори, влияещи върху вероятностите, опитвайки се да поддържа модела възможно най-опростен. Тази методология предоставя основа, от която могат да се разработят други възможни изследвания, с някои вариации на хипотезите.

* Статия, представена на IX Боливийски конгрес по математика, Потоси-Боливия, ноември 2002 г.

1 Като алтернатива може да се използва и друго класиране, като например „Световният футболен рейтинг на Ело“ [3]. Въпреки че рейтингът на FIFA е широко критикуван, той все още е най-известният.

Препратки

[3] Световни футболни рейтинги Elo, www.eloratings.net. 2002 г.

[4] W. Press; Б. Фланери; S. Teukolsky и W. Vetterling. Числени рецепти: Изкуството на научните изчисления. Cambridge University Press, Cambridge., 1990. [Връзки]

[5] Едуардо Пиза V. Симулация и футбол. Спомени от XI международен симпозиум по математически методи, приложени към науките, стр. 145-155. Съвместна редакция UCR-ITCR, Санта Клара, Коста Рика.

[6] Едуардо Пиза V. Симулационен модел на резултатите от футболен турнир. Списание CIEMI, година 8, том 32, стр. 33-44, Сан Хосе.

В Цялото съдържание на това списание, с изключение на случаите, когато е идентифицирано, е под лиценз Creative Commons