Отражение и предаване на вълни в струни

връзки валидни

теоретична основа

Аз. ВЪВЕДЕНИЕ

II. ТЕОРЕТИЧНА ФОНДАЦИЯ

Започваме с изписването на хармоничното решение за падащата вълна в среда 1:

;

където е неговата амплитуда и

· При достигане на точката на свързване между двете струни (x = 0), част от споменатата вълна ще бъде отразена в среда 1, а част от вълната ще бъде предадена в среда 2. Изражението на тези вълни ще бъде:

където

Граничните условия при обединението (x = 0) ни позволяват да намерим отношенията y .

Двата гранични условия, които трябва да бъдат изпълнени в точката на кръстовището, са очевидни (x = 0).

и тъй като вълната в средата 1 е сумата от инцидента и отразеното,

От друга страна, вертикалните сили, упражнявани от всяка хорда върху точката на свързване, трябва да бъдат равни и противоположни, тъй като в противен случай диференциалният елемент на масата в споменатия контакт би придобил безкрайно ускорение.

Как можем да запишем последното уравнение като,

Можем да запишем такива коефициенти като функция от различни променливи:

където и са характерните механични импеданси на двете струни.

II.б. Отражение и предаване на импулси

· Математическият израз за произволен импулс или форма на вълната е по-сложен, отколкото в случая на хармонични вълни, които изискват, строго погледнато, да бъдат с безкрайно разширение. Решението (по метода на Д'Аламбер) за вълновото уравнение в едно измерение се оказва произволна функция f (x - ct), ако вземем предвид изместването надясно.

· Отразените и предадените смущения могат също да бъдат поставени като произволни функции в съответните им променливи:

Граничните условия остават аналогични:

· Интегрирането на последното уравнение ни води до:

Решавайки (1) и (3) получаваме:

· Може да се мисли, че намерените връзки са валидни само при позиция x = 0. Това е намереният резултат, но също така е вярно, че такива връзки са валидни и при x = 0 за всички времеви моменти, докато честотата на импулса настъпва. Следователно връзката, която отразените и предадените импулси проверяват (по отношение на инцидента) в един момент за x = 0, ще бъде проверена в по-късен момент за новите позиции, които заемат в съответните им среди (средна стойност 1 за отразена и средна стойност 2 за предадените), според скоростите им на разпространение.

По този начин, след пристигането на инцидентния импулс до точката, която разделя средата, стойността на изместването на отразената вълна в точката x = - c ще бъде стойността, която би получила инцидентът, ако продължи по пътя си в средата 2, чрез коефициента, намерен в уравнение (4)

· Същата аргументация може да се приложи за предадената вълна, но като се има предвид, че в среда 2 скоростта на разпространение е C2, следователно за предадената вълна. Определено: