Небесна динамика

Дейности

движение

На тази страница изучаваме движението надолу на изкуствен спътник, който е поставен в кръгова орбита около Земята на височина з над повърхността му. Ще приемем, че Земята е заобиколена от атмосфера, образувана от слой газ с еднаква плътност, чийто външен радиус е по-голям от този на орбитата на спътника, така че силата на триене, упражнявана върху спътника, е постоянна.

Всъщност атмосферата се състои от няколко слоя, определени според вертикалната промяна в температурата:

  • тропосферата, температурата намалява с височина със скорост 0.6 ° C на всеки 100 m.
  • стратосферата, температурата остава практически постоянна
  • мезосферата, температурата се увеличава и след това намалява
  • термосферата, температурата се повишава редовно с височина.

Атмосферата обикновено се подразделя на слоеве според химичния състав:

  • хомосферата (до 100 км), основните съставки на въздуха (кислород и азот) остават в постоянна пропорция.
  • преобладават хетеросферата (от 100 км до 1000 км), леки газове, водород, азот, хелий.
  • екзосферата, (от 1000 км) най-леките молекули избягват в космоса, преодолявайки притеглянето на Земята.

В главата „Статистическа физика и термодинамика“ се изучава прост модел на атмосферата на планетата, налягането и плътността намаляват експоненциално с височината, приемайки, че температурата остава постоянна.

Силата на триене върху спътника обикновено зависи от неговата форма, плътността на въздуха и скоростта на спътника, така че уравнението на движението ще бъде доста сложно. На тази страница ще направим някои приближения, които ще ни позволят да опишем по прост начин движението на спътника.

Кръгова орбита

Помислете за изкуствен спътник, който описва кръгова орбита около Земята с радиус R. Прилагайки уравнението на динамиката на равномерното кръгово движение имаме:

където G= 6,67 10 -11 Nm 2/kg 2 и М= 5,98 · 10 24 кг е масата на Земята и нейният радиус е 6370 км.

Както можем да видим на фигурата, когато спътникът описва кръгова орбита, скоростта е перпендикулярна на радиалната посока или на посоката на силата на привличане.

Тъй като атрактивната сила е консервативна, енергията на изкуствения спътник е постоянна във всички точки на обиколката, които той описва.

Обща енергия И е половината от потенциалната енергия и е отрицателна.

Падащо движение към Земята

Когато изкуственият спътник падне към Земята, той спирализира. Ъгълът, който скоростта образува с радиалната посока, вече не е 90 °, а ъгъл 90 °-φ малко по-малък. С други думи, посоката на скоростта е малко под местната хоризонтална посока. Нормалната посока (перпендикулярна на посоката на скоростта) вече не съвпада с радиалната посока, а образува ъгъл φ.

На фигурата са показани силите върху спътника, когато той е на разстояние r от центъра на Земята.

  • Силата на привличането F
  • Сила на триене О че ще приемем постоянна и обратна скорост.

Разбиваме силата F по посока на скоростта (тангенциална) и по посока, перпендикулярна на скоростта (нормална).

Уравненията на движение в тангенциална посока и в нормална посока са:

  • първият ни казва как се променя скоростният модул v от спътника с течение на времето.
  • второто, как се променя посоката на скоростта

Където rc е радиусът на кривината на пътя, стойност различна от радиуса r на кръговата пътека, центрирана върху Земята.

Числово решение

макс =-FКос θ +ОСен ( θ + φ )
може =-FСен θ -ОCos ( θ + φ )

Двете уравнения на движение се трансформират в система от две диференциални уравнения от втори ред, които се решават чрез числени процедури, с началните условия t = 0, x = R, y = 0, vx = 0, vy = v0. Където v0 е скоростта на изкуствения спътник, когато той описва начална кръгова орбита с радиус R.

Подходи

Правейки някои приближения, можем да опишем уравнението на движението на изкуствения спътник по прост начин.

Ако приемем, че ъгълът φ е малък и следователно компонентът на скоростта v по локален хоризонтал е vH=vКосφ≈v, и че радиалният компонент vR е малък, така че

би било това на спътник, описващ кръгова орбита с радиус r със скорост vH=vКосφ

Опростяване м Y. r и след това се отклонява по отношение на r ние трябва да

Тангенциалното ускорение е валидно, като се използва правилото на веригата

От тези две последни уравнения стигаме

С това приближение уравнението на движение в тангенциална посока

Ъгълът, който векторът на скоростта образува с локалната хоризонтала, е

Стигаме до следния парадоксален извод

Силата на триене увеличава модула v на скоростта на спътника. Всъщност резултатът от двете сили (привличане и триене) има компонент по посока на скоростта на спътника, както може лесно да се види от диаграмите на тази страница.

Уравненията, които ни позволяват да получим позицията на мобилния в полярни координати (r, θ) като функция от времето т са:

Където v0 е скоростта на изкуствения спътник в началната кръгова орбита на радиус R, което описва в началния момент т= 0.

Изчислихме първоначалната енергия на изкуствения спътник в предишния раздел. Крайната енергия, ако приемем отново, че изкуственият спътник описва почти кръгла орбита на радиус r със скорост v, ще бъде

Разликата е загубата на енергия поради триенето на изкуствения спътник с атмосферата

Дейности

Целта на интерактивната програма не е да изчисли позицията и скоростта на изкуствения спътник, а да покаже траекторията му във форма на спирала, тъй като скоростта му се увеличава при спускане.

Височината на спътника в км над повърхността на Земята чрез преместване на пръста ви върху лентата за превъртане, озаглавена Височина.

Фактор Fr/m сила на триене О към тестото м сателита, като преместите пръста си върху лентата за превъртане, озаглавена Триене.

Натиснете бутона със заглавие Започва.

Наблюдава се движението на спътника около Земята, докато той се сблъска с повърхността му, син кръг представлява първоначалната кръгова орбита.

Дадени са данни за време в часове, скорост в m/s и височина в km над повърхността на Земята.

Вляво енергийните промени са представени от цветни ленти:

  • в синьо, кинетична енергия, която е положителна
  • в червено - потенциалната енергия, която е отрицателна
  • светла цветна линия показва общата енергия И, на единица маса м, чиято стойност е показана в милиони J/kg.
  • Черна лента показва разликата между началната и крайната енергия или загубата на енергия поради триене, когато спътникът пада към повърхността на Земята.

Въвеждаме данните

Височина з= 5000 км

Изчисляваме ъгъла, който посоката на скоростта образува с локалната хоризонтала

Препратки

Mills B. D. . Сателитен парадокс. Am. J. Phys. 27 (1959) стр. 115-117

Arons. ДА СЕ. Анализ F = ma на въртящия се кънкьор и разпадащата се сателитна орбита. Учителят по физика 37, март 1999 г., стр. 154-160