цели

След приключване на този урок трябва да можете да:

приложения

  • Моделирайте ситуации, които могат да бъдат представени чрез експоненциални или логаритмични функции.
  • Прилагайте модели за решаване на проблеми.

Ситуационно моделиране

В урока по Въведение в експоненциални функции се научихме да получаваме формулата на експоненциални функции според ситуациите. Сега, след като знаем как да получим формулите, ще ги използваме за решаване на реални житейски проблеми.

Популация от птици, първоначално има 50 индивида и се утроява на всеки 2 години.

  1. Каква е формулата на функцията, която представя растежа на популацията на птиците?
  2. Колко птици има след 4 години?
  3. След колко време популацията на птиците ще бъде 1000 индивида?

    Каква е формулата на функцията, която представя растежа на популацията на птиците?

Ако x представлява броя на изминалите години, въз основа на наученото в урока Въведение в експоненциални функции, знаем, че формулата за популацията е:

Колко птици има след 4 години?

Използвайки формулата за x = 4, популацията ще бъде:

f 4 = 50 × 3 4 2 = 50 × 3 2 = 450

След 4 години ще има 450 птици.

След колко време популацията на птиците ще бъде 1000 индивида?

Искаме да намерим стойността на x, за която f (x) = 1000:

fx = 50 × 3 x 2 1000 = 50 × 3 x 2 20 = 3 x 2 ln (20) = ln (3 x 2) ln (20) = x 2 ln (3) 2 ln (20) ln (3) = хх = 5.4

Популацията на птиците ще бъде 1000 индивида след 5,4 години.

50 милиграма от определено лекарство се дава на пациент. Броят на милиграмите, останали в кръвния поток на пациента, намалява с една трета на всеки 5 часа.

  1. Каква е формулата на функцията, която представлява количеството на лекарството, останало в кръвния поток на пациента ?
  2. Колко милиграма от лекарството са останали в кръвта на пациента след 3 часа?
  3. След колко време само 1 милиграм от лекарството ще остане в кръвта на пациента?

    Каква е формулата на функцията, която представлява количеството на лекарството, останало в кръвния поток на пациента ?

Ако x представлява броя на изминалите часове, формулата за количеството лекарство в кръвния поток на пациента е:

f x = 50 × 1 3 x 5

Колко милиграма от лекарството са останали в кръвта на пациента след 3 часа?

Използвайки формулата за x = 3:

f 3 = 50 × 1 3 3 5 = 50 × 1 3 0,6 ≈ 25,86

След 3 часа в кръвта на пациента остават приблизително 25,86 милиграма от лекарството.

След колко време само 1 милиграм от лекарството ще остане в кръвта на пациента?

Искаме да намерим стойността на x, за която f (x) = 1:

fx = 50 × 1 3 x 5 1 = 50 × 1 3 x 5 1 50 = 1 3 x 5 ln 1 50 = ln 1 3 x 5 ln (1 50) = x 5 ln (1 3) 5 ln (1 50 ) ln (1 3) = xx ≈ 17,8

След приблизително 17,8 часа в кръвта на пациента ще остане само 1 милиграм от лекарството.


Намиране на функцията от дадени стойности

В научно изследване популацията от мухи нараства експоненциално. Ако след 2 дни има 100 мухи и след 4 дни има 300 мухи.

  1. Каква е формулата на функцията, която представя растежа на популацията от мухи?
  2. Колко мухи има след 5 дни?
  3. След колко време популацията на мухите ще бъде 1000 индивида?

    Каква е формулата на функцията, която представя растежа на популацията от мухи?

Докато говорим за експоненциален растеж, ние търсим функция на формата:

f x = y 0 × a x b

Където x представлява броя на изминалите дни. Проблемните условия ни позволяват да създадем следната таблица:

х две 4
f (x) 100 300

Стойностите в таблицата показват, че популацията от мухи се е утроила за период от 2 дни, което ни позволява да напишем формулата по следния начин:

f x = y 0 × 3 x 2

Знаем, че f (2) = 100. Замяна във формулата за намиране на y0:

f 2 = y 0 × 3 2 2 100 = y 0 × 3 1 y 0 = 100 3

Накрая формулата за растежа на мухите е:

f x = 100 3 × 3 x 2

Колко мухи има след 5 дни?

Използвайки формулата за x = 5, популацията ще бъде:

f 5 = 100 3 × 3 5 2 f 5 ≈ 520

След 5 дни ще има приблизително 520 мухи.

След колко време популацията на мухите ще бъде 1000 индивида?

Искаме да намерим стойността на x, за която f (x) = 1000:

fx = 100 3 × 3 x 2 1000 = 100 3 × 3 x 2 30 = 3 x 2 ln (30) = ln (3 x 2) ln (30) = x 2 ln (3) 2 ln (30) ln ( 3) = xx ≈ 6.19

Популацията на мухите ще бъде 1000 индивида след приблизително 6,19 дни.

Имате култура на бактерии в лаборатория и е известно, че нейният растеж е експоненциален. Броят на културите на бактерии е 800 след 1 минута и 1280 след 2 минути.

  1. Каква е формулата на функцията, която представлява растежа на бактериалната култура?
  2. Колко бактерии има след 5 минути?
  3. След колко време броят на бактериите ще бъде 10 000?

    Каква е формулата на функцията, която представя растежа на популацията от мухи?

Докато говорим за експоненциален растеж, ние търсим функция на формата:

f x = y 0 × a x b

Където x представлява броя на изминалите минути. Проблемните условия ни позволяват да създадем следната таблица:

х 1 две
f (x) 800 1280

Периодът между двете наблюдения е 1 минута. Искаме да намерим фактора на растеж в периода от време. Тоест искаме да намерим a с данните в таблицата:

a × 800 = 1280 a = 1,6

Което показва, че е имало растежен фактор 1,6 след 1 минута. Замествайки тези стойности във формулата имаме:

Знаем, че f (1) = 800. Замяна във формулата за намиране на y0:

f 1 = y 0 × 1,6 1 800 = y 0 × 1,6 y 0 = 800 1,6 и 0 = 500

Накрая формулата за растежа на бактериите е:

Колко бактерии има след 5 минути?

Използвайки формулата за x = 5, популацията на бактериите ще бъде:

f 5 = 500 × 1,6 5 f 5 ≈ 5242,88

След 5 дни ще има приблизително 5242,88 бактерии.

След колко време броят на бактериите ще бъде 10 000?

Искаме да намерим стойността на x, за която f (x) = 10000:

f x = 500 × 1,6 x 10000 = 500 × 1,6 x 20 = 1,6 x ln (20) = ln (1,6 x) ln (20) = x ln (1,6) ln (20) ln (1,6) = x x ≈ 6,37

Популацията на бактериите ще бъде 10 000 след приблизително 6,37 минути.


Продължаващ интерес

Експоненциалните функции се използват за моделиране на непрекъснат интерес, както следва:

Ако първоначална сума пари P се инвестира при годишен лихвен процент i. Сумата на парите след t години инвестиция, предмет на a продължаващ интерес се дава със следната формула:

Намерете сумата на парите, която се получава след 3 години, ако $ 3000 са инвестирани при лихва от 7% годишно, при непрекъсната лихва.

Използвайки формулата с P = $ 3000, r = 0,07 и решаване за t = 3, имаме:

f 3 = 3000 × e 3 × 0,07 f 3 ≈ 3701,03

След 3 години сумата на парите ще бъде приблизително 3 701,03 долара.

Колко време ще отнеме на инвестицията от $ 1000 да се удвои, ако текущият лихвен процент е 8,5% годишно?

Използвайки формулата с P = $ 1000, r = 0,085. Искаме да намерим стойността t, за която f (t) = 2000.:

f t = 1000 × e 0,085 t 2000 = 1000 × e 0,085 t 2 = e 0,085 t ln (2) = ln (e 0,085 t) ln (2) = 0,085 t ln (e) ln (2) 0,085 = t t ≈ 8,15

инвестицията ще се удвои след приблизително 8,15 години.

Обобщение

След като завършихте този урок, можете да: