Динамика
Дейности
На страницата, озаглавена „Обикновеното махало“, изучавахме това устройство, образувано от частица маса м държани от неразтеглива нишка с незначителна маса л.
На тази страница монтираме простото махало на мобилна платформа за маса М плъзгане без триене по хоризонтална равнина.
Уравнението на движението на обикновено махало
Да предположим, че просто махало с маса м и дължина л отклонява ъгъл θ0 от равновесно положение и освободен.
Принцип на запазване на енергията
Прилагаме принципа на запазване на енергията, за да изчислим скоростта на частицата, когато махалото е в ъглово положение θ.
Установяваме нулевото ниво на потенциална енергия в оста на въртене O
Тъй като частицата описва кръгово движение на радиус л, скорост v=л(dθ/dt). Терминът в скоби е ъгловата скорост на въртене.
Втори закон на Нютон
На фигурата са показани силите, действащи върху масовата частица м и тангенциалните компоненти в= л(d 2 θ/dt 2 ) и нормално an=v 2/l =л(dθ/dt) 2 от ускорението му.
Прилагаме втория закон на Нютон
мат = -mg сен θ
човече =т-mgКосθ
Първото уравнение е написано в диференциална форма
Това диференциално уравнение от втори ред се решава чрез числени процедури с началните условия т= 0, θ = θ0, (dθ/dt) = 0
Второто уравнение ни позволява да изчислим напрежението на въжето т известна скорост v на частицата. Скорост v се изчислява чрез прилагане на принципа за запазване на енергията
Уравнение на движението на просто махало на мобилна платформа
Изучаваме хоризонталното движение на махалото и платформата. Хоризонталната външна сила е нула и следователно центърът на масата не се движи, ако първоначално е бил в покой. Да предположим, че първоначално махалото е в равновесно положение, в покой, над центъра на масата на платформата. Проекцията му върху хоризонталната ос X сочи към начало O. Така изходът O е позицията на центъра на масата на изолираната система, която ще остане в покой, ако първоначално е била в покой.
Позицията на центъра на масата на системата е началото Xc= 0
Да предположим, че махалото е изместено от равновесие с ъгъл θ0 надясно.
Позицията на c.m. на платформата е xb.
Положението на масовата частица м е xp=-xb+лСенθ.
Положението на центъра на масата е Xc= 0
Връзката между ъгловото положение θ на махалото и положението на c.m. от платформата xb е
Скоростта на центъра на масата на системата е Vc= 0
Компонентите на скоростта на частицата по отношение на инерционния наблюдател, разположен в хоризонталната равнина, са
хоризонтално: vcos θ +Vb
вертикално: vСенθ
Връзката между скоростта v частица и скорост Vb на платформата е
(1)
Принцип на запазване на енергията
Ако установим нулевото ниво на потенциална енергия по оста на въртене на махалото. Написан е принципът за запазване на енергията, вижте предишната фигура.
(две)
Заместваме (1) Vb базиран на v, и ние изчистваме v=л(dθ/dt) от (2)
Ускорението на центъра на масата на системата е Ac= 0
Хоризонталните и вертикалните компоненти на ускорението на частицата по отношение на инерционния наблюдател, разположен в хоризонталната равнина, са
вcos θ-anсенθ +аб
ancos θ+всенθ
Връзката между тангенциалните компоненти в и нормално an на ускорението на частицата и ускорението аб на платформата е
(3)
Втори закон на Нютон
Силите върху частицата са:
Напрежението т
Теглото mg
Силите на платформата са:
Напрежението т на въжето
Тангенциалните и радиални компоненти на ускорението на частицата по отношение на инерционния наблюдател, разположен в хоризонталната равнина, са
Уравнението на движение в тангенциална посока е
м (при + abКос θ ) =-mgсен θ (4)
Уравнението на движението в нормална посока е
м(an-abСенθ) =т- mgcosθ (5)
Уравнението на движението на платформата е
тСенθ=Mab (6)
Ние заместваме аб от (3) до (4) и като се вземе предвид това an=л(dθ/dt) 2 и в= л(d 2 θ/dt 2 ) стигаме до следното диференциално уравнение от втори ред
Което се решава чрез числени процедури със следните начални условия
т= 0, θ = θ0, (dθ/dt) = 0
Когато тестото М на платформата е много голяма в сравнение с масата м на частицата, m/M→ 0 получаваме диференциалното уравнение на движението на махалото.
Нека проверим дали диференциалното уравнение на движението е правилно.
Прилагането на принципа за запазване на енергията ни дава диференциално уравнение от първи ред
Извеждаме това уравнение по отношение на времето
и отново получаваме диференциалното уравнение на движението
Напрежение на въжето
От уравнения (5) и (6) решаваме за опъването на въжето
Известна ъгловата скорост на въртене (dθ/dt) напрежението се изчиства т на въжето
Пример: да предположим, че махалото се отклонява θ0= 90є и освободен. Когато преминава през равновесното положение θ= 0, напрежението на въжето е
Малко по-високо, отколкото когато платформата е фиксирана Т /(mg) = 3
Когато тестото М на платформата е много голяма в сравнение с масата м на частицата, m/M→ 0 получаваме
Пример
Маса на платформата М= 2 kg, маса на частицата м= 1 кг, така че коефициентът М/м= 2,0
Дължина на махалото, л= 1,0 m
Първоначален ъгъл на отклонение на махалото θ0= 90є
Платформата се отклонява наляво, така че позицията на c.m. изолирана система остава при източника
Изчислете позицията xb платформа, скорост v на частицата, скоростта Vb платформа и напрежение т на въжето когато θ= 30є
Запазването на импулса и енергията ни предоставят двете уравнения, които ни позволяват да изчислим v Y. Vб.
v= -4,75 m/s, Vb= 1,37 m/s
Напрежението т на хордата се изчислява по двойката уравнения
т Сен θ =Mab (6)
м (an-abСен θ ) =т- mgcos θ (5)
т Sin30є = 2Аб (6)
1 (4.75 2 /1.0-абSen30є) =т- 1 9,8 cos30є (5)
Премахване на ускорението аб от платформата, изчистваме т= 27,66 N
Сравнение
Фигурата показва сравнението между трептенията на махало (в син цвят) и това на същото махало, монтирано на подвижна платформа (в червен цвят), чиято маса е М=м Периодът на махалото на мобилната платформа е по-малък.
Фигурата показва позицията на платформата xb като функция от времето. Забелязва се, че се различава значително от Обикновено хармонично движение.
Дейности
Началният ъгъл θ0,, действащ върху лентата за превъртане, озаглавена Ъгъл
Частната маса на платформата, масата на частицата М/м, в контролата за редактиране със заглавие Коефициент
Дължината на махалото е фиксирана на л= 1м.
Натиснете бутона със заглавие Започнете и тогава, Започва
За да започнете ново изживяване, натиснете бутона със заглавие Започнете
Сравнете поведението на махалото, когато масата на платформата М е от порядъка на масата на махалото м и когато е много по-възрастен. Например, М/м= 2. и когато М/м= 100.
В горната част на аплета се предоставят относителните данни:
Препратки
Предизвикателства по физика за учители и ученици (Решения за ноември 2004 г.), The Physics Teacher 43 (2005), pp. s2-s3