Динамика

Дейности

Предложен е проблем, който позволява на читателя да практикува с всички аспекти, свързани с динамиката на частица.

Една частица се пуска от устройство, състоящо се по същество от компресирана пружина. Първо, частицата се плъзга по хоризонтална равнина. След това преминава в цикъл и след това, ако успее да опише къдрянето, отива в наклонена равнина.

Предполага се, че има триене между частицата и хоризонталната и наклонената равнина, но в контура няма триене, за простота на изчислението.

Физически основи

В този раздел ще анализираме всеки от етапите, на които цикълът може да бъде разделен

Хоризонтална равнина A-B

Ако компресираме пружината на разстояние х и след това го освобождаваме в позиция A, можем да изчислим скоростта на частицата на входа B на контура, като прилагаме уравненията на енергийния баланс.

В позиция А частицата има само еластична потенциална енергия

Битие к еластичната константа на пружината, която се трансформира в кинетична енергия в позиция В

По пътя AB енергията се губи поради триене

Където х+0,7 е разстоянието между точки A и B.

По-подробен анализ на движението на частицата е предоставен в раздела "Движение на частицата в контакт с пружината".

Примка

Сега, ако скоростта на частицата в позиция C е по-малка от минималната стойност, тя няма да опише контура.

От уравненията на динамиката на кръговото движение имаме това

Битие NC нормалната сила при C или сила, упражнявана от релсата върху частицата в това положение. Минималната скорост се получава, когато NC= 0.

. Тогава

  1. Ако ъгълът е по-голям от 90є или p/2.
    Ъгълът q се изчислява, като се използва динамиката на кръговото движение и принципът за запазване на енергията.

Частицата престава да има контакт с контура в момента, когато нормалната сила е нула., н= 0. Следователно

В този момент частицата се движи с единствената сила на собственото си тегло, описвайки криволинейно движение при постоянно ускорение на гравитацията или параболичен изстрел.

Поставяме осите в центъра на цикъла. Стартовата позиция, както се вижда на фигурата по-горе, е

Първоначалните скорости при стартиране са

В раздела, озаглавен „Кръгова и параболична траектория“, ще анализираме подробно тази интересна комбинация от движения.

В ситуации 1 и 2 частицата се връща в позиция В със същата скорост, с която е влязла в контура, тъй като, както беше споменато, контурът няма триене.

Наклонена равнина

Ако частицата описва веригата, тя влиза в наклонената равнина със скорост ти което се изчислява, като се използва принципът за запазване на енергията

Веднъж попаднал в равнината, подвижните спирачки се дължат на тегловния компонент по наклонената равнина и силата на триене. Частицата изминава разстояние х по наклонената равнина, докато спре.

Енергийният баланс или уравненията на динамиката на праволинейното движение ни позволяват да изчислим х.

Прилагане на енергийния баланс WDE = EE-ED изчистваме х.

Примери

Пролетна константа к= 500 N/m

Радиус на контура R= 0,5 m

Коефициент на триене μ= 0,2

Масата на частицата е определена на м= 1 кг

Ние изследваме различните ситуации, които се случват, когато пружината е компресирана х.

Пружината е компресирана х= 0,24, когато курсорът на мишката се управлява върху малкия червен квадрат, който представлява частица от масата м= 1 кг.

Скоростта, с която достига точка Б, е началото на кръговата писта

Частицата преминава през най-високата точка С на кръговата пътека със скорост

Върнете се в точка Б, долната част на кръговата писта със същата скорост vB= 5,01 m/s или ъглова скорост от ω= 10,02 rad/s.

Достига точка D, началото на 30 ° наклонена писта със скорост

Изчисляваме максималното изместване D на частицата по наклонената равнина

Пружината вече е компресирана х= 0,2 m

Скоростта, с която достига точка Б, е началото на кръговата писта

Частицата се плъзга по кръговата пътека, докато скоростта не стане нула или реакцията н става нула. В този случай се анализира втората ситуация

Неговата скорост v в тази позиция е

Частицата описва парабола, докато не се сблъска с дъното на кръговата пътека.

Пружината вече е компресирана х= 0,1 m

Скоростта, с която достига точка Б, е началото на кръговата писта

Частицата се плъзга надолу по кръговата пътека, докато скоростта е нулева

Той се връща назад, преминавайки през B, долната част на кръговата писта със същата скорост, тъй като няма триене, плъзга се по хоризонталната коловоза и може да достигне A или да спре по-рано.

Частицата не достига позиция А, тя спира на разстояние

Стои на разстояние 47 cm, измерено от B или 70-47 = 23 cm, измерено от начало A.

Дейности

Когато частицата е в началото, поставяме показалеца на мишката върху червената частица, с натиснат левия бутон на мишката, частицата се влачи и пружината се компресира на разстояние х желано. След това левият бутон на мишката се освобождава. Частицата започва да се движи към цикъла.

За да повторите експеримента отново, поставете частицата в началото, като натиснете бутона със заглавие Започнете.

Бутонът е озаглавен Пауза Използва се за моментно спиране на движението, което се възобновява при повторно натискане на същия бутон със заглавие сега Продължавай. Като кликнете върху бутона със заглавие Той премина позицията на частицата се наблюдава във всеки интервал от време, стъпка по стъпка.

Следните параметри могат да бъдат променени:

  • Стойността на еластичната константа к от док, в контролата за редактиране, озаглавена Пролетна константа.
  • Коефициентът на триене в озаглавената контрола за редактиране Коефициент на триене, в определени граници (0- 0.7). Въвеждайки 0, приемаме, че няма триене. Има триене само по хоризонталните и наклонените коловози, но няма триене върху кръговите.
  • Радиусът на цикъла в контролата за редактиране Радиус на контура, в границите от 0,2 до 0,5 m.
  • Масата на частицата е определена на 1 kg

Програмата е гъвкава и ни позволява да практикуваме повечето ситуации, описани в динамиката:

  • Динамиката на равномерно ускорено праволинейно движение (наклонена равнина)
  • Динамиката на кръговото движение (контур)
  • Запазване на енергията (цикъл)
  • Енергиен баланс, когато действат неконсервативни сили, силата на триене (наклонена равнина и хоризонтална равнина)

Плъзнете малкия червен квадрат вляво с показалеца на мишката

Движение на частицата в контакт с пружината

Компресираме пружината до положение x0 и след това освободен. Частицата се плъзга под действието на две сили:

работа

силата, упражнявана от пружината kx

силата на триене, противопоставяща се на движението μmg

Ако максималната компресия на пружината е x0, частицата ще се движи, ако kx0> μmg, в противен случай тя ще остане в равновесие в тази позиция.

Уравнението на движението е

Решението на това диференциално уравнение е

х=ДА СЕсен (ωt)+Б.защото (ωt)+μg/ω 2

Константите ДА СЕ Y. Б. се определят от първоначалните условия: в момента т= 0, x = x0 Y. dx/dt= 0

Могат да възникнат два случая:

1.-Че частицата спира, преди да достигне началото

2. -Частицата да достигне началото х= 0, с крайна скорост v

Частицата спира в момента t = π/ω, вашата позиция е

За да надвиши произхода, трябва да се изпълни това x0> 2μg/ω 2

Стигаме до същия извод от енергийна гледна точка. Само ако енергията, съхранявана през пружината, е по-голяма от работата на силата на триене, частицата надвишава произхода

Скоростта, с която достига до началото х= 0 е

Същият резултат, който се получава при прилагане на енергийния баланс: Работата на силата на триене е равна на разликата между крайната енергия и началната енергия

Сега разглеждаме втората ситуация: Частицата се връща към началото със скорост v0 и компресирайте пружината

Уравнението на движението е

Решението на това диференциално уравнение е

х=ДА СЕсен (ωt)+Б.защото (ωt)-μg/ω 2

Константите ДА СЕ Y. Б. се определят от първоначалните условия: в момента т= 0, x =0 и dx/dt=v0

Частицата спира v= 0 в момента т

Като се вземат предвид тригонометричните връзки

Стигаме до следния израз за крайното положение на частицата

Същият резултат, който се получава при прилагане на енергийния баланс: Работата на силата на триене е равна на разликата между крайната енергия и началната енергия

Кръгов и параболичен път

Частицата описва кръгов път, ако скоростта в долната част на контура е

Частицата се плъзга назад, когато

Когато скоростта v0 е между тези две стойности, частицата се плъзга през контура, описва параболично движение, сблъсква се с контура и отново се плъзга през контура, както е показано на фигурата.

За да анализираме това сложно движение, ние поставяме началото в центъра на контура и измерваме ъглите от оста X. Поставяме нулевото ниво на потенциална енергия върху оста X.

В ъглово положение θ1 частицата престава да има контакт с контура, реакцията н Това е нищожно

Написано е уравнението на динамиката на кръговото движение и принципът за запазване на енергията

Комбинирайки двете уравнения, ние определяме стойността на ъгъла θ1

След като P1 пристигне, той описва параболично движение, скоростта и положението на частицата е

Той се сблъсква с контура в точката P2, която е точката на пресичане между параболата и радиусния кръг R. Спомняйки си, че уравнението на кръг, когато центърът му е в началото на координатите, е

x 2 + y 2 = R 2

Като се има предвид, че динамиката на кръговото движение

Стигаме до следния опростен израз

Времето за полет на частицата, докато се сблъска с контура, е

Позицията на точката на удар P2 и скоростта на частицата са съответно

След сблъсъка ще приемем, че нормалният компонент на скоростта е отменен и частицата се плъзга по контура с тангенциалния компонент на скоростта.

Нормалният компонент на скоростта се изчислява от скаларното произведение r2v2

Модулът вектор на позицията r2 на точка P2 е радиусът R на обиколката

Крайната енергия на частицата в точката на удара P2 е

Енергията в точката на удара е по-малка от енергията на частицата в стартовата точка

Фигурата показва параболичните траектории, последвани от частицата, за различни стойности на началната скорост v0 в долната част на цикъла.

Препратки

Gorielay A., Boulanger P, Leroy J., Модели на играчките: Скачащото махало. Изм. J. Phys. 74 (9) септември 2006 г., стр. 784-788