Представете си, че се прибирате от Сан Франциско, прясно от RSA конференцията. Разопаковате, отваряте чекмеджето на скрина си, където държите бельото си и какво откривате? Парче бельо, което не ви принадлежи! Логично се питате: каква е вероятността партньорът ви да ви изневерява?Теорема на Байес на помощ!

намалим

Концепцията зад теоремата на Байес е изненадващо проста:

Когато актуализирате първоначалното си убеждение с нова информация, получавате ново подобрено убеждение.

Бихме могли да изразим тази концепция, почти философска, с математика за ходене из къщата, както следва:

Нови и подобрени убеждения = Първоначални убеждения x Нови обективни данни

Байесовото заключение ви напомня, че новите доказателства ще ви принудят да преразгледате старите си вярвания. Математиците бързо присвоиха термини на всеки елемент от този метод на разсъждение:

  • Априори е вероятността за първоначалното вярване.
  • Вероятността е вероятността за новата хипотеза въз основа на скорошни обективни данни.
  • A posteriori е вероятността за ново преработено убеждение.

Разбира се, ако приложите заключението няколко пъти подред, новата априорна вероятност ще вземе стойността на старата апостериорна вероятност. Нека да видим как работи Байесовото заключение с един прост пример, взет от книгата „Инвестиране: Последното либерално изкуство“.

Байесов извод в действие

Току-що завършихме няколко игри на настолна игра със зарове. Докато слагаме материала в кутията, хвърлям зарче и го покривам с ръка. „Колко вероятно е да е получил 6?“, Питам те. "Лесно е", отговаряте вие, "вероятността е 1/6".

Поглеждам под ръката си и ви разкривам: „Това е четно число. Каква е вероятността тя да остане 6? Сега ще актуализирате старата си хипотеза благодарение на новата информация, така че да отговорите, че вероятността става 1/3. Нарастна.

Тогава ви разкривам още повече: «И това не е 4». Каква е вероятността за 6 сега? За пореден път трябва да актуализирате последната си хипотеза с новата информация и ще стигнете до заключението, че новата вероятност е 1/2. Тя отново се е увеличила. ! Честито! Току-що направихте анализ на байесов извод! Всяка нова целева информация ви е принудила да прегледате първоначалната си вероятност.

Нека анализираме, въоръжени с тази формула, предполагаемата изневяра на вашия партньор.

Как да приложите байесов извод, за да разберете дали вашият партньор ви изневерява

Да се ​​върнем към въпроса в началото: Изневерява ли ви партньорът ви? Доказателството е, че сте открили странно бельо в чекмеджето си (RI); хипотезата, че се интересувате от оценката, е вероятността партньорът ви да ви изневери (E). Теоремата на Байес може да изясни това подозрение, стига да знаете (или сте готови да изчислите) три количества:

Приемайки добра работа при оценката на тези стойности, остава само да приложим теоремата на Байес, за да установим задната вероятност. За да улесним изчисленията, нека приемем група от 1000 двойки, илюстрирани като големия зелен правоъгълник на следващото изображение. Лесно е да се види, че ако 40 от 1000 индивида изневерят на партньора си и ако от тях половината забравят бельото на любовника си в чекмеджето на партньора си, 20 души ще са забравили бельото (група 4). От друга страна, от 960 на всеки 1000 души, които не изневеряват на партньора си, 5% също погрешно са оставили бельо в чекмеджето на партньора си или какво е същото, 48 души (група 2). Добавяйки и двете суми, се оказва, че 68 тайнствени бельо ще са се появили разпръснати из чекмеджетата на двойките (група 2 + група 4).

Ето защо, ако откриете подозрително бельо в чекмеджето си, Каква е вероятността партньорът ви да ви изневерява? Съотношението между намерените дрехи, когато двойките са неверни (4), разделено на общото количество намерени дрехи, както за двойки, които изневеряват, така и не (2 + 4). Без да се налага да правите изчисления, очевидно е, че странна дреха е по-вероятно да се дължи на верен партньор, отколкото на невярна. Всъщност точната стойност на задната вероятност е: Pr (E | RI) = 20/68 ≈ 29%.

Също така можем математически да съберем пропорциите на изображението на предишната фигура в известното уравнение на Байес:

Замествайки съответните числови стойности, отново стигаме до вероятността партньорът ви да ви изневери: само 29%! Как се получава този изненадващо нисък резултат? Защото сте тръгнали от ниска априорна вероятност (базов процент) за изневяра. Въпреки че обясненията му за това как тези дрехи са могли да стигнат до чекмеджето ви са доста неправдоподобни, вие тръгнахте от предпоставката, че партньорът ви е бил верен, което има голяма тежест в уравнението. Което донякъде не е интуитивно, защото това бельо в чекмеджето ви не е ли доказателство за нейната вина?

Евристиката на нашата система I, адаптирана за бързи и интуитивни преценки, ни пречи да стигнем до най-добрите вероятностни заключения въз основа на наличните доказателства. В този пример ние обръщаме необикновено внимание на доказателствата (странно бельо!) И забравяме основната ставка (само 4% заблуждават). Когато сме заслепени от нови обективни данни с цената на предварителните знания, нашите решения ще бъдат постоянно неоптимални.

Но вие сте байесов професионалист, нали? Ще дадете на партньора си ползата от съмнението. Разбира се, можете да го предупредите в бъдеще не мислете за закупуване на бельо от другия пол, нито ви давайте бельо, нито канете двойки платонисти да нощуват. При тези условия вероятността бельото да се появи отново в чекмеджето ви в бъдеще, ако не ви заблуждава, ще бъде най-много 1%, т.е. Pr (RI | ¬E) = 0,01.

Ами ако след няколко месеца странно бельо се появи отново в чекмеджето ви? Как ще се промени сега вярата ви в нейната невинност? С появата на нови доказателства, байесовци ще актуализират първоначалната си оценка на вероятността. Постериорната вероятност, че ви е изневерил за първи път, която изчисляваме на 29%, ще стане априорната вероятност да ви изневерява този втори път. Байесовците адаптират оценката си за бъдещи вероятностни събития в светлината на новите доказателства. Ако въведете отново новите променливи в предишната формула, Pr (E) = 0,29 и Pr (RI | ¬E) = 0,01, новата задна вероятност партньорът ви да ви удря ще бъде 95%. Сега вече можете да поискате документите за развод!

Този илюстративен пример, взет от „Сигналът и шумът: Изкуството и науката на предсказанието“, показва, че:

  • Заслепени сме от доказателствата, когато са много цветни, живи и емоционални.
  • Когато първоначалните ни убеждения са много здрави, те могат да бъдат изненадващо непроницаеми за нови доказателства срещу тях.

Във втората част на тази статия ще изследваме няколко казуса, при които байесов извод се прилага успешно за киберсигурността.