Matemotion

Проблемите с тежестите и везните са много често срещани в развлекателната математика. Проверка на книгата 100 големи задачи на елементарната математика - 100 големи задачи на елементарната математика Припомних си един класически проблем с теглото от 17-ти век и ми се стори интересно, поради своята привлекателност, интерес и простота, да го припомня в този раздел на тетрадката за научна култура.

Проблемът е предложен от френския математик, лингвист, философ и поет Клод Гаспар Баше дьо Мезириак (1581-1638), който прави латинския превод и издание през 1621 г. на произведението Аритметика на гръцкия математик Диофан (3 век), в неговата книга Problèmes Plaisants et Délectables, Qui se font para les names - Приятни и възхитителни проблеми с числата (1612).

проблем
Картина, от неизвестен автор, от френския математик Клод Гаспар Баше дьо Мезириак

Задачата, предложена от френския математик, върви по следния начин:

Проблем с теглото на Bachet de Méziriac: Определете най-малкия брой тегла и тяхното тегло в килограми *, необходими за претегляне на произволен брой килограми между 1 и 40, включени и двете (без да се допускат фракции).

[* В оригиналния текст те са лири]

Въпреки че не е изрично посочено в текста на задачата, той се позовава на факта, че претеглянето се извършва с везна с две рамена или съответно с две плочи, така че тежестите да могат да се поставят върху някоя от двете плочи, за да се получи желаното тегло (подобно на това, което можем да видим на следващото изображение, макар и с лиценза, че този на изображението няма да държи тежестите, за които говорим). По този начин, ако имате тегло 9 килограма и още 5 килограма, можете да претеглите 4 килограма портокали, като поставите теглото от 9 килограма в едната чиния, а в другата теглото от 5 килограма с портокалите. Математически правим операцията по изваждане, 9 килограма - 5 килограма = 4 килограма.

Тоест, като се имат предвид някои тегла с определени тегла, е възможно да се претегли всяко количество, получено като добавяне или изваждане на стойностите на теглата.

Балансирайте с две рамена или две плочи

В книгата 100 големи проблеми на елементарната математика по същество възниква същият проблем, въпреки че изявлението вече включва информацията, че има 4 тегла, с малко по-привлекателна литература за читател.

Проблем: Търговец имал тегло 40 килограма *, но паднал и се счупил на 4 различни парчета. Когато се претеглят парчетата, се установява, че всеки от тях тежи точен брой килограми и че между четирите може да се претегли произволен брой килограми * между 1 и 40. Колко килограма * тежи всяко от парчетата?

Нека разсъждаваме по подобен начин, както Баше преди 400 години. Идеята на Bachet е да започне с две тежести, за да можем да претеглим нещо между 1 и н, за н колкото е възможно по-голям. Очевидно е, че решението е две тежести от 1 и 3 килограма, с които могат да се постигнат тегла между 1 и 4 килограма:

1 = 1, 2 = 3 - 1, 3 = 3 и 4 = 1 + 3.

Не забравяйте, че добавянето означава поставяне на тежестите върху една и съща плоча, докато изваждането означава поставянето им на различни плочи.

За други суми обаче бихме имали същото количество песо, но не между 1 и н. Например, с тежести от 2 и 3 килограма получавате 1, 2, 3 и 5 килограма, но не и 4 килограма.

Сега ще трябва да видим какво тегло да добавим, за да получим всички тегла между 1 и н, за н по-голямо от 4. Тъй като вече имаме двете тежести от 1 и 3 килограма и успяхме да претеглим всички тегла между 1 и 4 килограма, трябва да вземем тегло, чиято разлика с максимално постигнатия досега 4 килограма, е следващото тегло, 5 килограма (следователно 9 килограма, тъй като 9 - 5 = 4, или това, което е същото, 9 = 2 x 4 + 1), тъй като по този начин се получават всички количества от 5 килограма до това количество, 9 килограма, като се извадят от 9 килограма (т.е. поставяне на другата чиния) всички суми от 1 до 4:

5 = 9 - 4 = 9 - (1 + 3), 6 = 9 - 3,

7 = 9 - 2 = 9 + 1 - 3, 8 = 9 - 1, 9 = 9.

Но освен това можем да получим и всички тегла между 9 и 9 + 4 = 13 килограма:

10 = 9 + 1, 11 = 9 + 2 = 9 + 3 - 1,

12 = 9 + 3, 13 = 9 + 4 = 9 + 3 + 1.

Следователно, с 3 тегла от 1, 3 и 9 килограма се постигат всички тегла между 1 и 13 килограма.

Числото 13 в шрифт, създаден от Джейми Кларк, с Elliot Jay Stocks, за списание 8 Faces

Всъщност установяваме общия метод. Да предположим, че имаме тежести A, B, C, ..., с които можем да претеглим от 1 до н килограма. Сега разглеждаме ново тегло P от стр килограма, което ще надвиши н точно в н + 1 килограм (за да можете да получите всички междинни количества), тоест, стр - н = н + 1 или еквивалентно, стр = 2 н + 1. И по този начин е възможно да се претегли от 1 до стр + н = 3 н + 1 килограм.

Следователно следващото тегло, четвъртото, ще има 2 х 13 + 1 = 27 килограма и ще ни позволи да броим до 3 х 13 + 1 = 40 килограма. Следователно решението на проблема е, че са необходими 4 тежести, чиито тегла са съответно 1, 3, 9 и 27 килограма.

Страница от книгата на Claude Gaspard Bachet de Méziriac, Problèmes Plaisants et Délectables, qui se font par les names (1612), в която се предлага и решава проблемът с тежестите

Тъй като конструкцията, която сме дали, е обща, можем да се запитаме каква би била стойността на следващото тегло и колко бихме могли да претеглим. Теглото би имало стойност 2 х 40 + 1 = 81 килограма и би могло да се претегли с 5 тежести до 3 х 40 + 1 = 121 килограма.

На този етап със сигурност сме осъзнали, че величините на тежестите са степента на 3, тоест 1 = 3 0, 3 = 3 1, 9 = 3 2, 27 = 3 3 или 81 = 3 4. Всъщност не е трудно да се покаже, че теглото ще бъде 3 0, 3 1, 3 2, ..., 3 к килограма и максималното тегло, което може да се постигне с тях, е 3 0 + 3 1 + 3 2 + ... + 3 к . Освен това, този последен израз, използвайки формулата на крайната сума от степени, е равен на (3 к +1 - 1)/2.

С пет тежести, чиито стойности са 1, 3, 9, 27 и 81, могат да се претеглят всички количества между 1 и 121 килограма. Номера, представени с тропически шрифт, проектиран от Алехандро Пол Йолувиан, през 2017 г.

Но можем да поставим решението на проблема с теглото на Bachet de Méziriac по друг начин, както се вижда в отличната книга Известни пъзели на Велики математици. Като се има предвид, че ако поставим тежестите върху една или друга плоча, количеството им се събира или изважда, идеята е да се представи всяко количество ° С, между 1 и 40, както следва

където стр1, ..., стрm са стойностите на теглата и коефициентите да сеi вземете стойностите -1 (ако е поставено теглото на стойността стрi върху плочата на везната, където е обектът, който трябва да се претегли), 0 (ако не се използва тежестта стрi) и 1 (ако се поставя стойностното тегло стрi върху плочата, противоположна на тази, където е обектът, който искаме да претеглим).

Като коефициентите да сеi Те могат да приемат три различни стойности, -1, 0, 1, предишният израз предполага, че използваме система от основа 3. Тоест, теглото ще бъде стр1 = 3 0 = 1, стр2 = 3 1 = 3, стр3 = 3 2 = 9, ... и получените количества ще бъдат (сега ги поставяме в обратен ред)

° С = да се м 3 m - 1 + да се м - 1 3 м - 2 + ... + да се 3 3 2 + a 2 3 1 + a 1 3 0,

което като число в системата 3 е представено (да семда сем - 1 ... да се3 a2 a1) 3. И позволява да се представят всички числа до (1 1 ... 1 1 1) 3. Например, за m = 5 тегла, максималният брой е (1 1 1 1 1) 3 = 3 4 + 3 3 + 3 2 + 3 1 + 3 0 = (3 5 - 1)/2 = 121.

Например числото 65 ще бъде представено като

65 = 1 x 81 + (- 1) x 27 + 1 x 9 + 1 x 3 + (- 1) x 1.

Страница от книгата „Математически развлечения и есета“ (1892), на W. W. Rouse Ball, в която е включен проблемът с тежестите на Баше с двата му варианта и започва неговото разрешаване

Британският математик и адвокат W. W. Rouse Ball събира „проблема с теглото на Баше“ в известната си книга Математически развлечения и есета - Математически развлечения и есета (1892). В него той повдига два варианта за проблема, оригиналния, при който тежестите могат да бъдат поставени върху двете плочи на везната и чието решение, което знаем, се състои от тежести с мощност 3, т.е. 1, 3, 9, 27, а другата, в която тежестите могат да се поставят само върху плочата срещу плочата, където е поставен обектът, който трябва да се претегли. В този втори вариант тежестите могат да се поставят или не, тогава имаме възможност само да добавяме или не, но не и да изваждаме, в заключение имаме двоична система и решението е степента на 2 за теглата, 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Проблемът с тежестите на Bachet de Méziriac обаче има много по-далечен произход във времето. Първият път, когато се появява, за записа, е в Liber Abaci - Abacus Book (1202) от Леонардо от Пиза, известен като Фибоначи. В изданието от 1857 г. на Baldassarre Boncompagni проблемът е „От IIII ъъъъ pesonibus, quorum pondus erat librarum quadraginta”Това се появява на страница 297 от том 1.

Страница от изданието на Балдасар Бонкомпани от 1857 г. на „Liber Abaci“ (1202) на Леонардо де Пиза, в което проблемът с четирите тегла изглежда постига всички тегла между 1 и 40

„Гора от числа“ (2017), от Еманюел Моро в Националния център за изкуство, Токио. Благодарение на @ molinos1282

Библиография

1.- Хайнрих Дьори, 100 големи проблема с елементарната математика, тяхната история и решение, Дувър, 1965.

2. - Клод Гаспар Баше де Мезириак, Problèmes Plaisants et Délectables, Какъв е шрифтът за имената?, 1612.

3.- Миодраг С. Петрович, Известни пъзели на велики математици, AMS, 2009 г.

4. - W. W. Rouse Ball, Математически развлечения и есета, Macmillan and Co., 1892.

5. - Леонардо от Пиза, Liber Abaci (1202), том 1 от изданието Baldassarre Boncompagni, 1857.

Относно автора: Raúl Ibáñez е професор в катедрата по математика на UPV/EHU и сътрудник на катедрата по научна култура