Древните египтяни са имали специфични символи за фракциите, използвани за генериране на всички останали

Свързани новини

Има обща идея, че математическата работа е самотна и далеч от реалността. Възможно е в много случаи това да е така, но не е обичайно, нито, разбира се, най-препоръчително. Всеки проект, който се изпълнява като екип, особено ако е интердисциплинарен екип, дава по-задоволителни резултати с по-голяма прогноза, да не говорим, че процесът на разработка е по-плавен и забавен. Както във всички области на професионалния живот, нетипичните и извънредни ситуации са много забележителни, постигнатите рекорди винаги привличат вниманието и може да се случи така, че някои изненадващи истории да предизвикат интереса на хора извън професията.

какво

В математиката два поразителни случая на плодотворна работа са много поразителни: този на Леонхард Ойлер (1707-1783) и тази на Пол Ердос (1913-1996). Фигурата на Ойлер е вече добре известна, тя е част - или трябва да бъде част от общата култура и колекцията от негови научни трудове (повече от 850 творби) представлява огромна работа, предимно индивидуална, резултатът от която е достъпен в «Архив Ойлер», поддържан от библиотеката на Тихоокеанския университет в Калифорния, САЩ. Фигурата на Ердош, унгарски математик, който през целия си живот обикаля света и си сътрудничи в тясно сътрудничество с възможно най-много колеги, може да не е толкова известна. През 2001г, Пол Хофман публикува интересна биография, озаглавена „Човекът, който обичаше само числата“ (Ediciones Granica), обобщавайки в заглавието най-значимата характеристика на този герой.

През целия си живот Ердос публикува, доколкото ни е известно, 1526 научни статии по математика - броейки 35-те, които се появиха след смъртта му -, повечето от тях в Теория на числата и Теория на множествата. Повече от хиляда негови творби са извършени в сътрудничество с общо 512 съавтори. Сред тях 202 са си сътрудничили с Ердос в повече от една статия, като негов сънародник е Андраш Саркози който държи рекорда от 62 съвместни научни статии.

Досега през 21 век все още са публикувани пет статии, носещи съвместния подпис на Erdös и един или повече други автори, произведения, започнали в сътрудничество с Erdös или които решават предложени от него проблеми. Възможно е също така някои от тези автори да са искали да постигнат дългоочакваното число на Ердос, равно на единица, запазено за момента за 512 директни сътрудници, число, което може да се превърне в достойна заслуга за включване във всяка учебна програма по математика.

Последното от щастливите поговорки е Стивън Бътлър, професор в Държавния университет на Айова и работата, която той публикува през 2015 г., подписан заедно с Пол Ердос и наскоро починалия Роналд Греъм– заслужава малко внимание.

В тази работа, озаглавена „Египетски дроби с всеки знаменател, имащ три различни главни делители“, се изучават някои свойства на египетските дроби, които до този момент са били неизвестни. Как Какво представляват египетските фракции?

Да кажем, за да опростим, че те са тези, които имат числител, равен на един. Защо ги наричат ​​египетски? Тъй като в египетската цивилизация преди повече от 3500 години това бяха фракциите, за които те имаха специфични символи и следователно те са тези, които са били използвани за генериране на всички останали. Всъщност един от най-представителните му символи, око на хорус, съдържа най-простите фракции, с които са образували останалите и в първата част на известните rhind папирус, че можем да се възхищаваме в британския музей в Лондон (когато ни пуснат там) се появява маса с трудоемки разлагания - като сбор от две, три или четири фракции с числител, равен на един - на всички фракции от тип 2/n за всеки n нечетен от 5 до 101 (3 не се брои, защото те също са имали символ, който да представлява фракцията 2/3). Последният е много привлекателен: отговаря на равенството 2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606. Папирусът също съдържа таблица с разлаганията на фракциите n/10 за всеки n от 2 до 9.

Да, и аз мислех същото като вас: всяка дроб 2/n може да бъде разложена просто като 1/n + 1/n, но египтяните търсеха комбинации, където знаменателите бяха различни. Да, също се чудя защо са искали да го правят така, но великият френски математик Андре Вайл обясни, че отговорът е прост: просто са тръгнали по грешен път.

През историята са открити много свойства на египетските фракции, но са повдигнати и въпроси, някои от които остават нерешени. Със сигурност първият въпрос би бил: могат ли всички дроби (по-малки от единица) да се разложат като сбор от египетски дроби? Отговорът е да и Фибоначи (c.1170-c.1250) измисли безпогрешен метод: най-голямата фракция с числител, чиято разлика е положителна, се изважда от първоначалната фракция; резултатът е друга фракция, по-малка от първата, за която се прилага същата процедура; тъй като във всяка стъпка се получава по-малко количество, в един момент разликата е нула. На страницата на Рон Нот можете да намерите онлайн калкулатор, който разбива всяка дроб, следвайки този метод.

Този метод ще бъде надежден, но не винаги дава "елегантни" резултати. Например египтяните пишат 2/45 = 1/30 + 1/90, а методът на Фибоначи води до решението 2/45 = 1/23 + 1/1035. Има и други по-лоши примери, които насърчават научната общност и с течение на времето са разработени по-преки и ефективни методи.

Всъщност също така е показано, че всяка фракция може да бъде разложена като сума от египетски фракции по безкрайни начини.

Вторият въпрос може да бъде: какъв е максималният и минималният брой египетски фракции, които са необходими за разлагането на дадена фракция? Известно е, че с метода на Фибоначи всяка фракция n/m се нуждае от най-много n добавяния. Произведенията на Майкъл Мейс през 1987 г. и Херта Фрайтаг Y. Джордж Филипс през 1999 г. те осигуряват условия за достигане на максималния брой добавки за определени случаи. От друга страна, до 2010 г. беше известно, че фракцията 732/733 е тази с най-ниския знаменател, която може да бъде изразена като сбор от седем египетски фракции, но не и шест. Математикът любител Уго ван дер Санден доказа тази година, че 27538/27539 е най-простата фракция, която не може да се разложи като сума от седем, а като сума от осем египетски фракции. Какъв ще е този, който се нуждае от поне девет египетски фракции? В момента никой не знае.

Както казахме, има много въпроси, свързани с темата и не всички от тях са разрешени. Ами ако искаме знаменателите да бъдат съвсем четни? Или всички странни? Повече от половин век Ердес и Греъм се чудеха дали една дроб може да бъде разложена като сбор от египетски фракции, в които всеки знаменател е произведение на три различни прости числа. Не трябва да мислим, че този въпрос им е дошъл в главата в изблик на творчество, а че е предложен от други цифрови проблеми относно дяловете, върху които са работили. В статията, която цитирахме от Бътлър, Ердос и Греъм, публикувана през 2015 г., най-накрая се показва, че всяко естествено число може да бъде записано като сбор от египетски дроби, където всеки знаменател е продукт на три различни прости числа и има тройка равенство в мненията на авторите (един глас за, един против и един празен) по първоначалния въпрос дали същото се случва с която и да е дроб, не е задължително да е естествено число.

Тъй като в фундаменталната наука обикновено не задаваме въпроса „за какво е всичко това?“, Ние ще се ограничим до предлагането на прост проблем на изобретателността, който можете да разрешите, като използвате правилно изложеното тук. Ето проблема: как да разпределим равномерно пет равни пици между осем души? Най-необмисленият отговор е да разделите всички пици на осем равни филийки, така че 40-те филийки да могат лесно да бъдат разделени между 8-те души. Какво ще кажете да напишем 5/8 = 1/2 + 1/8? Чрез драстично намаляване на броя на разфасовките в пиците, точността е по-голяма и разпределението е по-справедливо. Това ли беше начинът, по който египтяните разпределяха земя, посеви, печалби, заплати ...?

Педро Алегрия. Университет на Страната на баските/Euskal Herriko Unibertsitatea. Комисия за оповестяване на Кралското испанско математическо общество (RSME).

ABCdario de las Matemáticas е раздел, който произтича от сътрудничеството с RSME