Небесна динамика

В главата за кинематиката изучавахме движението на снаряди, които описват параболични траектории в локалната хоризонтална равнина, приемайки, че ускорението на гравитацията е постоянно.

На страницата, озаглавена „Откриването на закона за всеобщата гравитация“, забелязахме, че снаряд, изстрелян от определена височина, описва елипсовиден път, в един от фокусите на който е центърът на Земята. Параболичните траектории са приближения на елиптичните траектории, когато обхватът и максималната височина на снаряда са много малки в сравнение с радиуса на Земята.

Също така ще приемем, че Земята не се върти по оста си. Ефектът от въртенето на Земята ще бъде описан на страницата, озаглавена "Отклонение на падащо тяло на изток".

На тази страница ще определим траекторията на изстрела, който е изстрелян от височина з, с начална скорост v0 правене на ъгъл φ с радиална посока.

На цялата тази страница ще ни е необходима следната информация:

Радиусът на Земята R= 6,37 · 10 6 m

Масата на Земята М= 5,98 · 10 24 кг

Константата G= 6,67 10 -11 Nm 2/kg 2

изстрелян

Уравнение на траекторията

Изстрелва се масов снаряд м от разстояние r0=R + h от центъра на Земята, със скорост v0 правене на ъгъл φ с радиус вектор. Ъгловият момент и енергията на снаряда са съответно

Уравнението на пътя в полярни координати е

Ако енергията на снаряда е отрицателна И 6 + 6,37 10 6 m

Максималната височина, която достига снарядът, е з= 18.03 · 10 6 -6.37 · 10 6 = 11.66 · 10 6 m

Скоростта, с която достига повърхността на Земята, е v= 8999,6 m/s

Ъгълът на стрелба е φ= 180є.

Ъглов импулс L= 0, така че пътят е права линия, която минава през центъра на силите. Снарядът се спуска по радиалната посока, докато достигне повърхността на Земята със същата скорост, която сме изчислили в предишния раздел.

Изстрелваме снаряд от позицията r0= 6,0 · 10 6 + 6,37 · 10 6 m с начална скорост v0= 4500 m/s в радиалната посока и към центъра на Земята

Скоростта, с която удря земната повърхност, е v= 8999,6 m/s

Ъгълът на стрелба е φ= 90є.

Максимален обхват

Максималният обхват настъпва, когато е перигеят R, и апогейът е r0 = h + R.

Тъй като ъгловият момент и енергията са постоянни във всички точки на траекторията и по-специално, в перигея и в апогея, трябва да

Данните са r0 Y. R и неизвестните v Y. v0. Скорострелността е

Пример: Нека з= 6000 км или разстоянието по радиалната посока е r0= 12,37 · 10 6 m

Изчисляваме скорострелността, v0= 4681,969 m/s

Полу-голямата ос на елипсата е да се= (R + r0) /2=14.37·10 6 m

Времето за полет е половината от периода

Позиция на точката на удар

Както виждаме на фигурата, снарядът напуска позицията θ= π и влияе върху позицията θ= π-α кога r = R.

поставяне r = R В уравнението на траекторията решаваме за ъгъла θ.

Продължавайки със същите данни от предишните случаи:

Радиално разстояние на изстрела r0= 12,37 · 10 6 m

Начална скорост v0= 4500 m/s

Ъгъл на стрелба φ= 90є.

Получаваме стойностите на ъгловия момент и енергията на снаряда

L= 5,57 10 10 м kgm 2/s
И= -22,12 10 6 м J

Познавайки енергията и ъгловия момент, се определя уравнението на пътя, стойността на параметъра д и ексцентричност ε

ε= 0,372
д= 7,77 · 10 6 m

С тези данни, пускането r= 6,37 · 10 6 m в уравнението на траекторията получаваме ъгъла θ= 0,934 рад.

Ъгловото разстояние между точката на удара и позицията на стрелба е

α= π-0,934 = 2,20 рад

Наречен диапазон при дължина на дъгата с обиколка на Земята, която съответства на това ъглово разстояние, s = R a= 14,03 · 10 6 m

Време на полет

Засенчената зона е площта, пометена от радиус-вектора между ъгловите позиции θ и π. С други думи, това е частта от елипсата между х Y. да се минус площта на основния триъгълник RКосθ и височина RСенθ, битие x = -c-RКосθ

Знаейки, че уравнението на елипсата е

където да се е полу-голямата ос на елипсата, б полумалката ос и ° С фокусното половин разстояние.

Площта на частта от елипса между х Y. да се е

За интегриране е направена промяната на променливата х=да сеСен z. Новите ограничения за интеграция са:

  • кога x = a, z2= π/2,
  • кога -RКосθ-° С=да сеСен z1

Следователно засенчената зона си заслужава

За да изчислим площта са ни необходими следните данни

да се= 9,82 · 10 6 m

° С= 3,35 10 6 m

б= 8,37 · 10 6 m

След това получаваме z1 каква е функцията на ъгъла θ= 0,934 rad от позицията на удара. След извършване на някои операции с калкулатора получаваме стойността на площта, пометена от радиусния вектор ДА СЕ= 1,022 10 14.

Накрая полетното време т е

Ъгълът на стрелба е φ 6 m

Начална скорост v0= 4500 m/s

Ъгъл на стрелба φ= 30є.

Енергията на снаряда не се променя, но ъгловият момент се променя

L= 2,78 10 10 м kgm 2/s
И= -22,12 10 6 м J

Познавайки енергията и ъгловия момент, се определя уравнението на пътя, стойността на параметъра д и ексцентричност ε

ε= 0,886
д= 1,94 10 6 m

С тези данни изчисляваме ъгъла, завъртян от главната ос на елипсата β =2.83 рад.

Позиция на точката на удар

Както виждаме на фигурата, изчисляваме ъгъла на удара, като влагаме уравнението на елипсата r = R, това, което ни дава ъгъла θ посочени на фигурата, по същия начин, както в предишния случай

Свързваме ъглите θ, α Y. β. за изчисляване на ъгловото разстояние α между точката на удара и огневата позиция.

α= 2π-θ-β

с горните данни θ =2,47 и β =2.83 рад, ъгловото разстояние α= 0,981 рад (56,2є)

Време на полет

Времето на полета е пропорционално на сумата от засенчените от елипса области

Площите се изчисляват както в предишния случай. Първо се нуждаем от стойностите на параметрите на елипсата:

полу-голяма ос да се= 9,02 10 6 m

фокусно половин разстояние ° С= 7,99 10 6 m

полумаловажна ос б= 4,18 · 10 6 m

Изчисляваме площта на частта на елипсата над главната ос, която е площта, изметена от радиусния вектор от ъгловото положение θ= 2,47 до θ= π. Трябва да знаем по-рано, z1, което от своя страна е функция на ъгъла θ ударна позиция.

-RКосθ-° С=да сеСен z1

Резултатът е А1= 5,1786 10 13

Изчисляваме площта под голямата ос, изметена от радиусния вектор от ъгловото положение β= 2.83 рад нагоре β = π.

Трябва да знаем по-рано, z1, което от своя страна е функция на ъгъла β= 2,83 rad, което замества ъгъла θ във формулата на площта и r0 замества R

-r0Косβ-° С=да сеСен z1

Резултатът е А2= 3.6620 10 13

Ъгълът на стрелба е φ> 90є.

Траектория

Снаряди, изстреляни под ъгъл φ и 180-φ имат еднаква енергия и същия ъглов момент, пътят е елипса със същите стойности на параметъра д, и ексцентричност ε, но ориентацията му е различна.

Ако ъгълът на стрелба е 150 °, енергията и ъгловият импулс са същите като при изстрела на снаряда при 30 °

ε= 0,886
д= 1,94 10 6 m

Както виждаме на фигурата, траекторията, която следва снарядът, е елипса, но тя се завърта под ъгъл β. Този ъгъл се изчислява чрез поставяне r = r0 в уравнението на пътя

С тези данни изчисляваме ъгъла β =2.83 рад (червен цвят), който върти главната ос на елипсата, което е решението, което взехме в предишния случай, но ъгълът също е решение β =2π-2,83 = 3,45 рад. (Син цвят)

Позиция на точката на удар

В предишния раздел изчислихме ъгъла на удара, като поставихме уравнението на елипсата r = R, какво ни даде ъгълът θ =2,47 рад

Свързваме ъглите θ, α Y. β. за изчисляване на ъгъла на удара α.

α+θ+β-π = π или,

α =2π-β-θ =0,36 rad (20,4ê)

което е същата връзка, която получихме в предишния случай.

Време на полет

Площта, изметена от радиусния вектор от първоначалната позиция на тръгване до тази на удара, е разликата на две области

Областта А1 пометено от радиусния вектор от позицията θ= 2,47 до позиция θ= π

Областта А2 пометено от радиус вектор от ъглово положение 2π-β = 2.83 до позиция π.

Тези две области съвпадат с областите А1 Y. А2 изчислено в предишния случай

Дейности

Височината з в км, от който е изстрелян снарядът, в контрола за редактиране, озаглавен Височина. Първоначалното положение на снаряда е r0=з1000 + 6,3710 6 m

Скорост на снимане v0 в m/s, в контролата за редактиране, озаглавена Скорост

Ъгълът на стрелба, измерен от радиалната посока, действащ върху пръста на лентата за превъртане, озаглавен Ъгъл

Натиснете бутона със заглавие Започва

Ъглите 0 и 180 Se са изключени, тъй като техният анализ е по-опростен и те водят до грешки при препълване в основната рутинна процедура.

Наблюдава се движението на снаряда и данните за ъгловото разстояние между точката на въздействие върху повърхността на Земята и мястото на изстрелване, както и времето за полет, използвано от снаряда.

Ако скоростта е голяма, може да се случи снарядът да излезе в орбита около Земята.

Как се предлагат упражнения,

Решете конкретен пример с помощта на калкулатора, както е направено на тези страници, и проверете резултатите с тези, предоставени от интерактивната програма

Задайте скоростта на стрелба, променете ъгъла на стрелба и намерете ъгъла, за който обхватът е максимален

Задайте височината на стрелба, намерете скоростта, която кара снаряда да описва кръгова орбита около Земята.