РЕШЕНИ ПРОБЛЕМИ ЗА ЛИНЕЙНО ПРОГРАМИРАНЕ В ДВЕ ПРОМЕНЛИВИ.
РЕШЕНИ ПРОБЛЕМИ ПРИ ЛИНЕЙНО ПРОГРАМИРАНЕ В ДВЕ ПРОМЕНИ. ГРАФИЧЕН МЕТОД 1. Диетологът създава диета за един от своите пациенти. Диетата трябва да включва два зеленчука А и В. Да предположим, че всяка порция от 10 грама А съдържа 2 единици желязо и 2 витамин В 12, докато всяка порция от 10 грама зеленчук В съдържа една единица желязо и 5 единици витамин B 12. Броят на калориите във всяка 10 g порция зеленчуци A и B е съответно 5 и 3. Ако пациентът се нуждае от поне 20 единици желязо и 36 витамин В12 в диетата си, колко грама от всеки зеленчук трябва да включва диетологът, за да отговаря на мерните единици желязо и витамини, като същевременно минимизира броя на калориите в диетата? Таблиране на данни Растителна променлива Желязо Витамин B 12 Калории A x 2 2 5 B y 1 5 3 Изискване 20 36 Целева функция: min 5x и Z 3 Ограничения: 2x y 20 2x 5y 36 x 0 y 0 Графика на основната възможна зона и върхове на многоъгълника y 60 40 20 A (0,20) B (8,4) 0 C (18,0) -30-20 -10 0 10 20 30 x -20-40 ww w. c e d i c a p e d. c o m Страница 1
Възможни решения Оптимално осъществимо решение: Vertex x и Z (min) A 0 20 60 B 8 4 52 C 18 0 90 8 g зеленчук A и 4 g зеленчук B произвеждат минимална стойност от 52 калории. w w w. c e d i c a p e d. c o m Страница 2
2. Фармацевтична компания иска да направи тоник, така че всяка бутилка да съдържа поне 32 единици витамин А, 10 витамин В и 40 витамин С. За снабдяване с тези витамини лабораторията използва добавки на цена от 20 цента на унция, която съдържа 16 единици витамин А, 2 единици витамин В и 4 единици витамин С; добавка Y на цена от 40 цента за унция, съдържаща 4 единици витамин А, 2 единици витамин В и 14 единици витамин С. Колко унции от всяка добавка трябва да бъдат включени в бутилката, за да се минимизират разходите? Таблиране на данните: Добавка променлива Витамин А Витамин B Витамин C Разходи X x 16 2 4 0.20 Y y 4 2 14 0.40 Изискване 32 10 40 Целева функция: Ограничения: 16x 4y 32 2x 2y 10 4x 14y 40 x 0 y 0 min 0.20x 0 y Z 40 Ограниченията след това се изобразяват в една декартова система, определя се основната възможна площ и се посочват върховете на многоъгълника. 8 и A (0,8) 6 4 B (1, 4) 2 C (3, 2) 0 D (10, 0) -4-2 0 2 4 6 8 10 12 14 x -2 w w w. c e d i c a p e d. c или m Страница 3
Възможни решения Оптимално осъществимо решение: Vertex x y Z (min) A 0 8 3.20 B 1 4 1.80 C 3 2 1.40 D 10 0 2.00 3 унции добавка X и 2 унции добавка Y дават минимална цена от $ 1.40. w w w. c e d i c a p e d. c или m Страница 4
3. Две рафинерии произвеждат три вида бензин с различни октанови стойности A, B и C. Рафинериите работят по такъв начин, че различните видове бензин винаги се произвеждат във фиксирана пропорция. Рафинерия I произвежда една единица A, 3 единици B и 1 единица C на партида, докато Рафинерия II произвежда 1 единица A, 4 единици B и 5 единици C на партида. Цената на партида за рафинерия I е 300 и $ 500 за рафинерия II. Търговецът се нуждае от 100 единици A, 340 единици B и 150 единици C. Как трябва да поръча да минимизира разходите? Рафинерия Променлив октан A Октан B Октан C Разход I x 1 3 1 300 II y 1 4 5 500 Изискване 100 340 150 Целева функция: Ограничения: xy 100 3x 4y 340 x 5y 150 x 0 и 0 мин 300x y Z 500 150 и 100 A (0, 100) 50 B (60, 40) C (100, 10) 0 D (150, 0) 0 50 100 150 200 250 xww w. c e d i c a p e d. c или m Страница 5
Приложими решения Оптимално осъществимо решение: Vertex x и Z (мин) A 0 100 50 000 B 60 40 38 000 C 100 10 35 000 D 150 0 45 000 Поръчайте 100 галона от Рафинерия I и 10 галона от Рафинерия II, на цена от 35 000 $. w w w. c e d i c a p e d. c или m Страница 6
4. Телевизионната станция е изправена пред проблем: тя знае, че програма А с 20 минути музика и 1 минута реклами има аудитория от 30 000 зрители, докато програма Б с 10 минути музика и 1 минута реклама се вижда от 10 000 зрители. Спонсорът настоява, че рекламите им се излъчват поне 6 минути седмично и станцията не може да осигурява повече от 80 минути седмично. Колко пъти седмично трябва да се излъчва всяко предаване, за да получите максимален брой зрители. Решение: Таблиране на данни: Променлива музика Време Време Брой търговски зрители A x 20 1 30 000 B и 10 1 20 000 Наличност 80 Изискване 6 С тези данни определяме целевата функция и ограниченията: Целева функция: Ограничения: макс. 20x 10y 80 xy 6 x 0 y 0 С програмата Graphmatica продължаваме да получаваме графиката на многоъгълника, която ограничава основния възможен регион: 9 и 8 B (0,8) 7 6 A (0,6) 5 4 C (2, 4) -2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 ww w. c e d i c a p e d. c или m Страница 7
Върховете на полигона, който ограничава основния възможен регион, осигуряват следните възможни решения: Vertex xy Z (max) A 0 6 60 000 B 0 8 80 000 C 2 4 100 000 Оптимално решение: Телевизионната станция трябва да предава 2 програми от тип A (20 минути на музика и 1 минута реклами) и 4 програми тип Б (10 минути музика и 1 минута реклами) за получаване на максимум 100 000 зрители; по този начин ще бъдат покрити изискванията на спонсора и максималната наличност на музикалното време. w w w. c e d i c a p e d. c или m Страница 8