Но да отидем на части. Съществуват редица правила за посочване на аксиоми. Първо: аксиомите трябва да бъдат възможно най-малко. И второ: трябва да е невъзможно да се извлекат от тях два извода, които си противоречат.

непостижимата

В наръчниците по математика на всяко училище ние вече започваме да научаваме първите аксиоми. Най-известното, несъмнено, е, че от „само една линия може да бъде изтеглена през всякакви две точки“ или „общата сума е сумата от частите“. Следователно математиката е радост, защото за разлика от другите дисциплини на знанието, при тях изглежда, че можем да стигнем до абсолютни истини, до истинска мъдрост.

Но реалността не е толкова красива. Дълги години се смяташе, че аксиомите на Евклид са единствените, които могат да съставят последователна геометрия. Единствените истини, на които можехме да се придържаме Но през 19-ти век е показано, че чрез модифициране на аксиомите на Евклид по определен начин могат да бъдат съставени различни и последователни геометрии. От този момент нататък хората вече не знаеха коя от тези геометрии е истинската.

Може би въпросът не трябва да е какво е вярно, а какво е полезно. Тъй като има много набори от аксиоми, от които могат да възникнат последователни математически системи и всички те са различни помежду си. Това противоречи на едно от правилата за аксиомите: че те не могат да си противоречат.

Но представете си следното твърдение: "Твърдението, което правя, е невярно".

Ако е невярно, значи е невярно, че казвам нещо невярно и трябва да казвам нещо вярно. Но ако казвам нещо вярно, тогава е вярно, че казвам нещо невярно и би било добре да кажа нещо невярно. И така до безкрайност. Невъзможно е логично да се докаже, че моето твърдение е така или не.

Друго изявление със същите характеристики беше изречено от Сократ: „Просто знам, че не знам нищо".

Ще си помислите, че този тип фрази са сложни и че реалността не се държи по този начин.

През 1931 г. австрийският математик Кърт Гьодел, само на 25 години той публикува статия, озаглавена За формално неразрешими предложения в Principia Mathematica и сродни системи. Там той показа, че за всеки набор от аксиоми винаги е възможно да се правят твърдения, които въз основа на тези аксиоми не могат да бъдат доказани или че те са такива или че не са такива. В този смисъл е невъзможно някога да се разработи набор от аксиоми, от които да се изведе пълна математическа система.

Не се страхувайте. Това не означава, че никога не можем да стигнем до истината. Това означава, че математическата система ще ни бъде полезна, стига да не я използваме извън нейните граници. Гьодел ни откри, че истината е по-висока категория от доказуемостта. И, от друга страна, Теорема на Гьодел прилага се само за дедуктивни системи от вида, използван в математиката. Това ни показва, че най-съвършената математическа система, която можем да постигнем, с краен брой аксиоми и правила за извод, е неспособна на принципа да докаже истинността/неверността на твърденията, които ние, извън системата, можем лесно да видим.

Но за щастие приспадането не е единственият начин да се открие истината.