Наукас

В много настройки е обичайно статистиката да се разглежда като малка сестра на математиката. Мисля например за съществуващото разграничение в академичните програми в испанското средно образование между математика А и В (позната от учениците, не без известна шега, като лесна математика и трудна математика). Основната разлика е, че тези, известни като лесни, включват повече статистика и по-малко анализ.

Въпреки тази определена социална дискредитация, статистиката и особено теорията на вероятностите е изключително богат и изненадващо сложен клон, който поражда много явления, които очевидно противоречат на интуицията.

В тази статия ще се съсредоточа върху концепцията за посредственост, която изглежда повече или по-малко скрита в почти всяко практическо приложение на вероятността и е в основата на много от грешките, допуснати при опит за нейното тълкуване, както и много дълбока концепция на вероятността. физически.

Коефициентите се изчисляват чрез броене

Е, броене и разделяне, но последното може да се направи с калкулатор. В крайна сметка вероятността за събитие се дефинира като броя на благоприятните за това събитие случаи, разделен на броя на възможните случаи.

По този начин вероятността за получаване на глави в хвърлянето на монета [1] е 1 на 2 (0,5), тъй като общите възможности са 2 (глави или опашки), от които само една е глава. [1] Нито една от монетите, заровете и т.н. на тази статия ще бъде подмамена.

бележник

Ако сега искаме да изчислим вероятността от навиване на 6 върху ролката на матрицата, можем да използваме диаграма като следната:

Откъдето бързо следва, че вероятността е 1/6.

Можем да работим и с малко по-сложни събития, като например вероятността за получаване на четно число, като в този случай бихме имали:

Като вероятност в този случай 3/6, т.е. 0,5.

Броенето е лесно, нали?

Тогава е ясно, че за да се изчислят вероятностите е достатъчно да се преброят възможни случаи и всички знаем как да броим ... или поне така мислим. Читателят, който е по-близо до математиката, може да бъде изненадан да прочете, че броенето не е лесно, поне не винаги. Преброяването на възможни случаи може да бъде много трудно и дори има клон на математиката, комбинаторика, посветен изключително на изкуството на броенето.

Опитайте например да преброите колко възможни начина можете да настаните 100 гости на сватба, като ги разделите на 10 маси. Проблемът се брои, но отговорът не е очевиден.

Но, спрете дотук! Това е популярна статия ... вече сме измъчвали читателя достатъчно в предишния параграф. Да забравим за обърканите случаи и да се съсредоточим върху по-основен и важен проблем: кога броим, какво броим?

Да предположим, че ви моля да преброите колко дървета има на вашата улица. Ами ако сега ви помоля да преброите колко клона? И колко листа? И в трите случая гледате абсолютно едни и същи обекти, но числата се променят поради начина, по който етикетираме множествата ... какво е това, което улавя интереса ни за всеки отделен случай.

Дълбоко в себе си това е нещо съвсем очевидно, не можете да разберете, ако не знаете какво искате да кажете.

Посредствеността пробива: грозни числа

С пристигането на празниците много от нас се излагат на крайна опасност: колегите ни да ни делегират, за да изберем номер за десетата лотария на компанията. Тези от нас, които като мен знаят за вероятностите, сме наясно, че няма значение точно кой номер ще изберем и че единствената сигурност е, че каквото и да е то, ще има колеги, които ни упрекват, че сме избрали толкова лошо номер.

Но как може един номер на лотария да бъде повече или по-малко лош от друг? В допълнение към обичайните трикове, често се чува, че печелившите числа винаги са грозни числа. Това, което имат предвид под това, е, че печелившите числа рядко са блестящи числа (по някаква причина) като 00000, 12345 или 31416 ... въпреки че математиците, тези умни, настояват, че те са също толкова вероятни, колкото и всички други.

И причината е толкова проста, че дори без да се изясни какво означава това грозно число, има много повече грозни числа, отколкото красиви числа. Точно както когато групирахме клони в дървета, вероятностите се променят, защото се променя множеството, което броим. Естествено, основният феномен е идентичен и шансовете ни да спечелим от лотарията да играем грозни числа са точно същите, както ако играем други.

Този дисбаланс между грозни, посредствени случаи и красиви, специални случаи се появява в множество случайни явления. И, както ще видим, има значение далеч отвъд сферата на хазарта и залаганията.

Посредствеността расте бързо: пример с монети

Представете си, че хвърляме няколко монети и смятаме, че хвърлянето е красиво, когато всички монети са глави или всички монети са опашки.

Следващата таблица обобщава всички възможни пиеси за 2, 3 и 4 монети, отбелязвайки красивите пиеси в зелено:

Както виждаме, красивите пиеси все повече се „разтварят“ сред множество грозни, посредствени пиеси, тъй като броят на монетите се увеличава. Колкото повече монети, толкова по-малко вероятно е да се намери хубаво състояние.

Интересното е, че за по-голямата част от разумните дефиниции за това какво е хубаво състояние, това поведение преобладава.

Посредствеността като физическа „сила“

Има цял клон на физиката, статистическата механика или статистическата физика, който постоянно използва разсъждения, подобни на тези, които разработваме, за да получи изненадващо точни заключения.

Първите му приложения възникват при изследването на газовете.

Един газ може да се тълкува като много многобройни частици, всяка с определена скорост и позиция, които се развиват с течение на времето, например, подскачайки между тях и със стените на заграждението, което ги съдържа.

Една проста оценка позволява да се установи, че за съхраняване на позициите и скоростите на мол частици (ако приемем 2 байта на брой) ще са необходими 10 16 Gb памет. Това е приблизително еквивалентно на 10 000 компютъра за всеки жив човек в света. Да не говорим колко трудна би била задачата на лицето, което отговаря за въвеждането на тези данни. Накратко, директният подход е неприложим. Решението?, Приемете нашето невежество относно позициите и скоростите и ги третирайте като случайни променливи.

Много прост класически пример е следният: вероятността в рамките на една секунда всички частици въздух във вашата стая да се концентрират в единия ъгъл на стаята е точно същата като вероятността частиците да бъдат такива, каквито са в момента (един тук, един там, etcetera etcetera etcetera). Също така е една и съща вероятност всички те да се „конспирират“, за да насочат скоростта си към, да речем, главата на читателя, с фатални последици.

Трябва ли да се страхуваме от убийствен въздушен удар? Защо не се удавим? Просто защото бедните частици въздух се развиват сред обширен каталог на посредствени състояния, без забележителни особености (или плашене). Освен това, тъй като броят на възможните състояния е толкова огромен, вероятността да се измъкнем от посредствеността е много ниска.

Посредственост, грозота, разстройство ... или както ние физиците предпочитаме да казваме: ентропия.

И е, че вторият принцип на термодинамиката има много, много общо с грозните числа на лотарията.