Течности

Архимедов принцип

Принципът на Архимед гласи, че всяко тяло, потопено в течност, изпитва нагоре и вертикално тяга, равна на теглото на изместената течност.

Обяснението на принципа на Архимед се състои от две части, както е посочено на фигурите:

  1. Изследване на силите върху част от течността в равновесие с останалата част от течността.
  2. Заместването на споменатата част от течността с твърдо тяло със същата форма и размери.

архимедов

Част от течността в равновесие с останалата част от течността.

Нека първо разгледаме силите върху част от течността в равновесие с останалата част от течността. Силата, упражнявана от налягането на течността върху разделителната повърхност, е равна на p · dS, където стр зависи само от дълбочината и dS е повърхностен елемент.

Тъй като флуидната част е в равновесие, резултантът от силите, дължащи се на налягане, трябва да се компенсира с теглото на флуидната част. Ние наричаме това резултатно изтласкване и точката му на приложение е центърът на масата на течността, наречен център на тягата.

По този начин, за част от течността в равновесие с останалата част, това е вярно

Теглото на течността е равно на произведението на плътността на течността r f, умножено с ускорението на гравитацията ж и от обема на споменатата порция V.

Течната част се заменя с твърдо тяло със същата форма и размери.

Ако заменим течната част с твърдо тяло със същата форма и размери. Следователно силите, дължащи се на натиск, не се променят, а резултатът, който нарекохме тяга, е еднакъв и действа в същата точка, наречена център на тягата.

Това, което се променя, е теглото на твърдото тяло и точката му на приложение, който е центърът на масата, който може да съвпада или не с центъра на тягата.

Пример:

Да предположим потопено тяло с плътност ρ заобиколен от течност с плътност ρf. Основната зона на тялото е ДА СЕ и височината му з.

Налягането, дължащо се на течността в горната основа е p1= ρfgx, а налягането поради флуида в долната основа е p2= ρfg(x + h). Налягането върху страничната повърхност е променливо и зависи от височината, то е между p1 Y. p2.

Силите, дължащи се на налягането на течността върху страничната повърхност, се анулират. Другите сили върху тялото са както следва:

Телесно тегло, mg

Сила поради натиск върху горната основа, p1 A

Сила поради натиск върху долната основа, p2 A

В равновесие ще трябва

mg +p1 A = p2 A
mg + ρ f gx A = ρ f g (x + h)ДА СЕ

Като натиск върху долната част на тялото p2 е по-голямо от натиска върху горната част на лицето p1, разликата е ρfgh. Резултатът е възходяща сила ρfgh A върху тялото поради течността, която го заобикаля.

Както виждаме, силата на тягата води началото си от разликата в налягането между горната част и долната част на тялото, потопена в течността.

С това обяснение възниква интересен и обсъждан проблем. Да предположим, че тяло с плоска основа (цилиндрична или паралелепипедна), чиято плътност е по-голяма от тази на течността, лежи на дъното на контейнера.

Ако между корпуса и дъното на контейнера няма течност, изтласкващата сила изчезва ли ?, както е показано на фигурата

Ако контейнер се напълни с вода и на дъното се постави тяло, тялото ще почине, подкрепено от собственото си тегло mg и силата p1A упражнявана от колоната с течност, разположена над тялото, дори ако плътността на тялото е по-малка от тази на течността. Опитът показва, че тялото плува и достига повърхността.

Принципът на Архимед остава приложим във всички случаи и е изложен в много текстове по физика, както следва:

Когато тялото е частично или изцяло потопено в течността около него, върху тялото действа тласкаща сила. Тази сила има посока нагоре и нейната величина е равна на теглото на течността, която е изместена от тялото.

Минимална потенциална енергия.

В този раздел принципът на Архимед се изучава като пример за това как Природата се стреми да минимизира енергията.

Да предположим тяло във формата на паралелопипед с височина з, раздел ДА СЕ и плътност ρs. Течността се съдържа в контейнер с разрез С до височина б. Плътността на течността е ρf> ρs.

Тялото се освобождава, трепва нагоре и надолу, докато достигне равновесие, като дълго плава върху потопената течност х. Течността в контейнера се издига на височина д. Тъй като количеството течност не се е променило S b = S d-A x

Трябва да изчислите х, така че потенциалната енергия на системата, образувана от тялото и течността, да е минимална.

Вземаме дъното на контейнера като референтно ниво на потенциална енергия.

Центърът на масата на тялото е на височина d-x + h/ две. Потенциалната му енергия е Е= (ρs A h)ж(d-x + h/ две)

За да изчислим центъра на масата на течността, ние разглеждаме течността като твърда фигура на разрез С и височина д на която липсва част от раздел ДА СЕ и височина х.

Центърът на масата на цялата фигура, обем S d е д/ две

Центърът на масата, обема на дупката A x, е на височина (d-x/ две)

Потенциалната енергия на течността е Еф=ρf(Sb)ж·и f

Общата потенциална енергия е Ep = Es + Ef

Стойността на адитивната константа cte зависи от избора на референтното ниво на потенциална енергия.

На фигурата е представена потенциалната енергия Еп(х) за високо тяло з= 1,0, плътност ρs= 0,4, частично потопен в течност с плътност ρf= 1,0.

Функцията има минимум, който се изчислява чрез извеждане на потенциалната енергия по отношение на х и равен на нула

В равновесно положение тялото е потопено

Потенциална енергия на тяло, движещо се в течност

Като се има предвид консервативната сила, можем да определим формулата на свързаната потенциална енергия, интегрираща

  • Консервативна сила тегло Fg =?mgj е свързано с потенциална енергия Иg =mg и.
  • По същата причина консервативната сила на тягата Вяра =r Vgj е свързано с потенциална енергия Иe =- r fVg y.

Като се има предвид потенциалната енергия, можем да получим консервативната сила, произтичаща

Потенциалната енергия, свързана с двете консервативни сили е

Когато балонът се издига във въздуха с постоянна скорост, той изпитва сила на триене Fr поради въздушното съпротивление. Резултатът от силите, действащи върху балона, трябва да бъде нула.

Както r fVg> mg докато балонът издига потенциалната си енергия Иp намалява.

Използвайки енергийния баланс, получаваме същото заключение

Работата на неконсервативните сили Fnc променя общата енергия (кинетична плюс потенциал) на частицата. Тъй като работата на силата на триене е отрицателна, а кинетичната енергия Иk не се променя (постоянна скорост), заключаваме, че крайната потенциална енергия ИpB е по-малко от първоначалната енергийна мощност ИpA.

На страницата, озаглавена „Движение на тялото в идеална течност“, ще проучим динамиката на тялото и ще приложим принципа за запазване на енергията.

Потенциална енергия на частично потопено тяло

В предишния раздел изследвахме потенциалната енергия на тяло, напълно потопено в течност (балон с хелий в атмосферата). Сега ще предположим цилиндричен блок, който се намира на повърхността на течност (например вода).

Могат да възникнат два случая:

  • Че блокът е частично потопен, ако плътността на твърдото тяло е по-малка от плътността на течността, rs rF.
  • Оставете тялото да потопи изцяло si rs и rF.

Когато тялото е частично потопено, върху него действат две сили: тежестта мg = r sSh · g което е постоянно и тягата r fSx g което не е постоянно. Резултатът е

F= (- r сShg + r fSxg)j.

Където С основната площ на блока, з височината на блока и х частта от блока, която е потопена в течността.

Имаме ситуация, аналогична на тази на тяло, което е поставено върху еластична пружина във вертикално положение. Гравитационна потенциална енергия mgy на тялото намалява, еластичната потенциална енергия на пружината kx 2/2 се увеличава, сумата и на двете достига минимум в равновесно положение, когато е изпълнено ?mg + kx= 0, когато тежестта е равна на силата, упражнявана от пружината.

Минимумът от Иp се получава, когато производната на Иp относно Y. е нула, тоест в равновесно положение.

По аналогичен начин потенциалната енергия на частично потопеното тяло ще бъде

Минимумът от Иp се получава, когато производната на Иp относно Y. е нула, тоест в равновесно положение, когато теглото е равно на тягата. - r сShg + r fSxg=0

Блокът остава потопен на дължина х. В тази формула r е обозначена като относителна плътност на твърдото вещество (по отношение на флуида), т.е. плътността на твърдото вещество, като плътността на флуида се приема като единица.

Сили върху блока

  1. Когато rRS rF, тялото остава частично потопено в равновесната ситуация.
  1. Когато r>1 или rs> rF, теглото винаги е по-голямо от тягата, чистата сила, действаща върху блока, е

Fy = - r сShg + r fShg r =1 или r s = r F, Теглото е по-голямо от тягата, докато блокът е частично потопен (x r Shg + r Sxg і h) е нула и всяко положение на блока, напълно потопен в течността, е равновесие.

Криви на потенциалната енергия

  1. Потенциалната енергия, съответстваща на консервативното тегло на силата е
  1. Потенциалната енергия, съответстваща на тласкащата сила, има две части

  • Докато тялото е частично потопено (x и h)

Което съответства на сумата от площта на основен триъгълник з, и това на основен правоъгълник x-h.

  1. Общата потенциална енергия е сумата от двата приноса

Когато плътността на твърдото вещество е равна на тази на течността r s = r F, обща потенциална енергия Еп е постоянна и независима от х (или от Y.) за x и h както може лесно да се провери.

Дейности

  • Плътността на твърдото вещество r спрямо течността на лентата за превъртане, озаглавена Относителна плътност.
Натиснете бутона със заглавие Започва.

Блокът има височина з= 1 на единица и секция С. Блокът е поставен точно над повърхността на течността. Височината на центъра на масата му е y0= 1,5 единици.

Блокът се освобождава, достига крайното равновесно положение Y.e = r h, ако плътността r r >1.

Интерактивната програма не прави никакви предположения за начина, по който блокът започва от началната позиция и достига крайната позиция (тя не изчислява позицията и скоростта на тялото във всеки един момент), тъй като целта на програмата е да показват промени в потенциалната енергия Иp на тялото с позицията Y. от c.m. на същия.

В дясната част на аплета се изчертава:

  • потенциалната енергия поради консервативното тегло на силата Напр (в черно),
  • потенциалната енергия, дължаща се на тягата Еф (В син цвят)
  • сумата на двете вноски Еп (в червено) в зависимост от позицията Y. от c.m. на блока

Как можем да оценим кривата на гравитационната потенциална енергия Напр (в черен цвят) е права линия, чиято максимална стойност е в началната позиция Y.= 1,5 и е нула, когато блокът достигне дъното Y.= 0.

Кривата на потенциалната енергия, съответстваща на тягата Еф (в син цвят) е малко по-сложна и се състои от две части: Притча, докато тялото е частично потопено (x 0,5), прикрепен към права линия, когато тялото е напълно потопено (x и h) и (и Ј 0,5). Първоначалната потенциална енергия е нула и се увеличава, докато тялото се потапя в течността.

Кривата на общата потенциална енергия Еп (в червено) е сумата от двете вноски, Ep = Eg + Ef

За да нарисувате тези графики, първоначалната потенциална енергия на блока r sShg y0 с y0= 1,5, з= 1 и r s = r, плътност на твърдото вещество спрямо течността r f =1. По този начин първоначалната потенциална енергия на блока е единица.

Препратки

Рийд Б. С. Законът на Архимед дава добър пример за минимизиране на енергията. Физическо възпитание, 39 (4) юли 2004 г., стр. 322-323.

Keeports D. Как променя ли се потенциалната енергия на изгряващ балон, напълнен с хелий?. Учителят по физика, том 40, март 2002 г., стр. 164-165.

Силва А., Законът на Архимед и потенциалната енергия: моделиране и симулация с електронна таблица. Phys. Educ. 33 (2) март 1998 г. стр. 87-92.

Bierman J, Kincanon E. Преразглеждане на принципа на Архимед. Учителят по физика, том 41, септември 2003 г., стр. 340-344.