Matemotion

Тези дни препрочетох някои от статиите от интересната книга на популяризатора Иън Стюарт, „Луд по математика", Което ме накара да се замисля за написване на запис в тетрадката за научна култура за две от игрите за изобретателност, които авторът обяснява в книгата,„ Chomp "и" Yucky choccy ", които се играят с типични правоъгълни шоколадови блокчета . Но понякога съм малко разпръснат и докато работех по въвеждането на тази статия, това се превърна в цяла публикация, в която ще говорим за някои геометрични дизайни на шоколадовите блокчета и ще оставим мозъчните закачки за в рамките на петнадесет дни.

Геометрията на традиционните шоколадови блокчета е проста и много практична. Просто, защото таблетката има правоъгълна форма и е маркирана с хоризонтални и вертикални линии, еднакво разположени във всяка посока, които генерират мрежа от малки равни квадратни или правоъгълни порции, унциите, на които е разделена шоколадовата таблетка и които са минимални единица за ядене на този вкусен деликатес, направен с какао. И практично, защото тази мрежа от хоризонтални и вертикални линии ви позволява лесно да изрежете таблета, за да изядете частта, която най-добре отговаря на вашите желания.

дизайни
Типичен дизайн на шоколадови блокчета

Шоколадовите блокчета обаче могат да имат и много по-артистичен дизайн, дори там, където геометрията играе важна роля. Главният шоколатьор на Барселона Енрик Ровира [www.enricrovira.com] разработи проект за шоколадови барове, наречен „Rajoles d'author"(На каталонски" rajoles "означава както" таблетки ", така и" плочки "), при които дизайнер или дизайнер, поканен от него, и започвайки от класическата плочка в Барселона (известна като"Роза от Барселона”И чийто дизайн би могъл да бъде дело на модернистичния архитект Йозеп Пуиг и Кадафалч (1867-1956); което между другото е много подобно на типичната билбао керемида), той трябваше да направи нов дизайн за шоколадовото блокче.

Типична за Барселона плочка и шоколадово блокче, вдъхновено от нея, дизайн на Enric Rovira

Имах познания за този проект, който съчетава изкуството и гастрономията чрез шоколадовото блокче "Питагор”, В чийто дизайн участва математикът от Eibar, Енрике Зуазуа (професор по изследване на Икербаски в BCAM - Баски център за приложна математика [www.bcam.es]). Но преди да опише този дизайн, друго от творенията на Енрик Ровира на шоколадовия „раджол“ е вдъхновено, как би могло да бъде иначе, в шестоъгълната мозайка от плочки, която архитектът на Барселона Антони Гауди (1852-1926) създава за подовете на Casa Milá, известен като La Pedrera, който се намира на Paseo de Gracia в Барселона.

Шестоъгълна мозайка на подовете на Casa Milá, дизайн на Антони Гауди Шоколадово блокче „Hexàgon Gaudí“, проектирано от майстор шоколатьор Енрик Ровира

Тази красива шестоъгълна модернистична облицовка от Антони Гауди, който толкова обичаше да използва геометрията в своята архитектура (както от структурни, така и от естетически причини), е свързана с интересен математически резултат. Добре известно е, че има само три възможни типа редовни облицовки, при които плочките имат формата на правилен многоъгълник (че облицовката е правилна, означава, че страните на плочките са с еднаква дължина и ъглите им са равни, и разбира се, говорим за облицовка, при която страната на една плочка напълно се прилепва към страната на друга плочка, а не само частично). Трите възможни правилни мозайки са тези, направени с равностранни триъгълници, квадрати и правилни шестоъгълници.

Трите правилни плочки, като се използват равностраните триъгълници, квадрати и правилни шестоъгълници

Ако разгледаме всеки връх на плочката (вижте предишното изображение), определен брой плочки се сближават там. В случая на триъгълната мозайка, във всеки връх се съединяват 6 равностранни триъгълника, тъй като вътрешният ъгъл на равностранен триъгълник е 60º и 6 x 60º = 360º, което е пълният завой около върха. В теселацията по квадратчета 4 от тези полигони са свързани, всеки от тях с вътрешен ъгъл от 90º във върха и 4 x 90º = 360º. И накрая, вътрешните ъгли на шестоъгълниците са 120º, което е в съответствие с факта, че около всеки връх на плочката от шестоъгълници има точно три шестоъгълника във „фигурата“ около върха (т.е. 120º x 3 = 360º).

В този момент въпросът е дали е възможно да има повече облицовки с помощта на правилни полигони. Отговорът идва от фигурата на върха на мозайката, тъй като при дадена теселация около върха има определен номер н плочки, тогава ъглите на многоъгълника ще измерват 360º/н, така че нека видим какви възможности има ... 360º/2 = 180º (което не ни дава никакъв многоъгълник), 360º/3 = 120º (шестоъгълник), 360º/4 = 90º (квадрат), 360º/5 = 72º (няма многоъгълник правилен с вътрешен ъгъл 72º), 360º/6 = 60º (триъгълник) и вече няма възможности, които ни дават многоъгълник. Следователно току-що доказахме следната теорема:

Единствените правилни една до друга плочки са онези, оформени с равностранни триъгълници, с квадратчета или с правилни шестоъгълници.

Между другото, вътрешните ъгли на петоъгълника са 108º, на седмоъгълника 128,6º и като цяло за правилен многоъгълник на н отстрани е лесно да се види, че вътрешният ъгъл е (n-2) x 180º/n.

Но нека да преминем към дизайна на шоколадовото блокче "Питагор”. Това е направено от хърватския дизайнер Сантос Бреганя. В статията му за портала divulgamat можете да прочетете обяснението, което той е написал за неговия дизайн.

Докато е в дизайна „хокодоза”От Емили Падрос, също за проекта на Енрик Ровира, дизайнерът помисли за„ причудливо различни порции за различни желания ”(ще се върнем към този дизайн по-късно), Сантос Бреганя предлага разбиването на шоколадовото блокче на триъгълни порции с различни форми (т.е. порциите са правоъгълни триъгълници с различна дължина на страните си), но които имат еднаква повърхност, същото количество шоколад. Идеята, която хрумна на дизайнера, получил наградата Sphere (Art Director Club of New York) за работата си за ресторант Mugaritz, беше да започне от първоначалния квадрат (който е формата на цялата таблетка) и да го завърти, но без да излиза от периметъра му, тоест в същото време, когато се обърне, е необходимо да намалите квадрата по размер. По този начин във всеки ход се генерират квадратни триъгълници между предишния квадрат и току-що начертания (както е показано на изображението).

Скица, направена от Сантос Бреганя, в която той се опитва да възприеме идеята да обърне квадрата навътре, за да създаде триъгълници с различни размери, но с една и съща повърхност.

За да осъществи тази идея, така че всички триъгълници, които се появяват в завоите, както и четирите, които генерират диагоналите на последния квадрат, централния, да имат една и съща повърхност, Сантос Брагадо се обърна към математика Енрике Зуазуа. временен научен директор от BCAM, който помогна на дизайнера да разработи математическата част на работата.

Геометрично решение на проблема, поставен от Сантос Бреганя за разлагането на квадратното шоколадово блокче в правоъгълни триъгълници на една и съща повърхност шоколадово блокче „Питагор“ от Енрик Ровира, проектирано от Сантос Бреганя, със съдействието на математика Енрике Зуазуа

Може би това се дължи на интереса ми към питагорейската теорема (виж някои от предишните записи в раздела Matemoción на Бележника за научна култура), но окончателният дизайн на шоколадовото блокче „Питагор”От Сантос Бреганя ми напомня на питагорейската теорема. Централната част, тоест последните два квадрата и диагоналите на централния квадрат, е визуално доказателство за питагоровата теорема за случая на правоъгълен триъгълник, чиито крака имат една и съща мярка.

Визуално доказателство на питагорейската теорема за случая на правоъгълен триъгълник, чиито крака имат една и съща мярка

Докато всяко от поколенията на четирите триъгълника на всеки завой, те ми напомнят за визуалната демонстрация на питагорейската теорема, която видяхме в статията в тетрадката за научна култура "Питагор без думи”, За частния случай на правоъгълния триъгълник, който се генерира като нова триъгълна унция на шоколадовото блокче.

Безсловесно доказателство за теоремата на Питагор

Но шоколадът е преди всичко удоволствие за небцето, така че тук ще си припомним думите на дизайнера Сантос Брагадо в неговата статия, за да разкрие ...

"От физическо удоволствие, благополучие чрез приемане на калории - например в хладен есенен ден след изкачване на планина, през събужданията и спомените, които вкусът спасява, след физиологично пътешествие през сетивата - механични усещания за шоколада (правилно кристализирани), сложни аромати, горчиви, киселинни, сладки, пикантни, флорални аромати ...... Скрити аромати, които се отделят само върху небцето след разтопяване на най-тлъстите молекули, които също улавят захар, теобромин, фенилетиламин, кофеин и др. и че отворените врати на мозъка, които показват забравени стаи, деликатни чувства и стари спомени, шоколадът ни дава и всякакви физически усещания, които придружават смесени емоции, чувства и мисли. Но от всички тези удоволствия ни остава това, което Питагор ни претендира за небесна раса, отразяващото удоволствие, което ни позволява да съзерцаваме разбираемото, на чистата геометрия. "

По време на това пътешествие през геометричните дизайни на шоколадови блокчета от, или за него, майстор шоколатьор Енрик Ровира, оставихме дизайна, без да посещаваме „хокодоза"От дизайнера Емили Падрос, в който са предложени" причудливо различни порции за различни желания "и към които се връщаме за кратко сега.

Шоколадова таблетка "хокодоза" на Enric Rovira, проектирана от Емили Падрос

Както може да се види на изображението, Емили Падрос, за да създаде порции с различни размери за различни желания, както е показано на изображението за различно време на деня, създава мрежа от вертикални и хоризонтални линии, които не са еднакво раздалечени, така че те създават правоъгълни порции с различни пропорции.

Би било интересно да разберете какви пропорции сте използвали за тази цел. Мрежата от вертикални и хоризонтални линии в своя дизайн ни напомня за двете серии измервания, разработени от френския архитект Льо Корбюзие (1887-1956) в неговата работаМодулорът”, И мрежите, свързани с тях.

Модулорът е система от хармонични измервания, която започва от човешкия мащаб, за да се приложи универсално в архитектурата и дизайна и се основава на златното сечение и последователността на Фибоначи. Измерванията започват от измерването на мъжа с вдигната ръка (226 см) и от половината му, височината на пъпа (113 см) и се умножава и разделя последователно по златното число се получава така наречената синя серия, а от втората по същия начин червената. И от тях той изгражда няколко решетки от правоъгълници, които да се използват в архитектурата.

Поредицата от измервания на Le Corbusier в системата Modulor на правоъгълници, създадени от измерванията Modulor

Въпреки че Падрос не използва разпределението на Льо Корбюзие на вертикални и хоризонтални линии. Би било интересно да се знае какви са пропорциите, които дизайнерът е използвал за създаването си. На какво сте основали скалата си.

И накрая, малък размисъл за революцията, че 3D принтерите са в света на дизайна, също и в гастрономията. Следващото изображение показва геометрични фигури, отпечатани със захар на 3D принтер, но може да се отпечата и с шоколад.

3D революцията навлиза и в гастрономията

И не забравяйте, че следващата седмица ще играем с шоколад.

Библиография

1. - Ян Стюарт, Луд по математика, Критика, 2005.

2. - Enric Rovira (майстор шоколатьор)

4. - Антони Гауди, Каса Мила (La Pedrera)

5. - Александър Агинагалде Нафаррате, Педро Алегриа Ескера,

Раул Ибаниес Торес, Алваро Лозано Рохо, Марта Мачо Стадлер, Begirada matematiko bat, Imaginary, a Mathematical look, (дидактическо ръководство на изложбата), 2011. [PDF]

8. - Le Corbusier, El modulor (2 тома), апостроф, 2005.

Относно автора: Raúl Ibáñez е професор в катедрата по математика на UPV/EHU и сътрудник на катедрата по научна култура