Трептения
Дейности
Дължина на елипса.
В главата „Твърдо твърдо вещество“ изучавахме малките трептения на сложно махало. На тази страница ще проучим общото поведение на махало за малки и големи амплитуди и дори когато махалото се завърти.
Диференциалното уравнение, което описва поведението на съставното махало е
(1)
Когато ъгълът q е малък, тогава sin q »q . Махалото описва M.A.S. чийто период P0 е
Периодът на махалото
Да предположим, че махалото е в стабилно равновесно положение и ние го снабдяваме с енергия И.
Махалото придобива начална скорост w 0. С изместването на ъгъл q кинетичната енергия на въртене се превръща в потенциална енергия, докато достигне максимално отклонение q 0, когато w = 0. След това се извършва обратният процес, потенциалната енергия се преобразува в ротационна кинетична енергия, докато при повторно преминаване през равновесното положение q =0, цялата потенциална енергия е превърната в кинетична, ъгловата скорост на махалото ще бъде - w 0. След това махалото отново достига максималното си отклонение - Какво 0 и накрая се връща в стабилно равновесно положение, завършвайки трептенето.
Когато махалото достигне максималното отклонение w = 0, и Е = mgb(1-cos q 0)
Изчистване на времето dt в диференциалното уравнение
Когато махалото достигне максималното отклонение q = q 0 Или, когато j = p/2, сте използвали една четвърт от периода P размах.
Срокът P на трептене можем да го напишем
където P0 е периодът на малки амплитудни трептения.
Интегралът се нарича пълна елипса от първия вид. Следващата интерактивна програма изчислява коефициента P/P0 когато въведем амплитудата θ0 трептене. Изчислението се основава на процедурата на Карлсън за намиране на елипсовидния интеграл от първия вид RF (x, y, z). Махай се Числени рецепти в C, Специални функции. Глава 6є
Програма за изчисляване на периода на махало за всяка амплитуда
Серийно развитие
Разработваме последователно знаменателя на елиптичния интеграл
Интегралът става
За решаване на интегралите се използват следните тригонометрични връзки:
Серийното развитие на периода P е
(две)
Ако амплитудата е малка, можем да пишем
и периодът е приблизително
Това е първото сближаване с формулата за периода на махало
Крайният извод е, че периодът P нараства с амплитудата q 0. Докато периодът P0 е независимо от амплитудата, стига амплитудата да не е много голяма и може да се приложи приближението sin q »q .
Приблизителни формули за периода на махало
Няколко приблизителни формули за периода на махалото са известни за всяка амплитуда, която може да бъде сравнена с точния израз
Графичното представяне съответства на розовата крива, която най-добре се доближава до червената крива.
Графичното представяне съответства на черната крива, която е малко по-добра от предишната на червената крива.
Графичното представяне съответства на кривата на зеления цвят, която е най-подходящата за кривата на червения цвят.
Крива на потенциалната енергия
Както вече видяхме в тази глава, кривите на потенциалната енергия ни предоставят качествена информация за поведението на физическата система.
Потенциалната енергия на махалото е Иp =mgb(1-cos q). Максималната потенциална енергия на махалото е 2mgb, когато е в обърнато положение. Представяме в горната дясна част на аплета коефициента на потенциалната енергия Иp между енергията на максималната мощност, като функция от ъгъла q, т.е.функцията
В тези единици максималната потенциална енергия е единица за q = p, когато махалото е обърнато (нестабилно равновесно положение) и минимумът (нула) за q =0, стабилно равновесно положение.
В тази диаграма ние представяме с черна линия общата енергия И, сума на потенциалната енергия и кинетичната енергия. Вертикален сегмент с червен цвят показва потенциалната енергия на махалото за позицията q , и сегмент от син цвят - кинетичната енергия на махалото в това положение. Стойностите на общата, кинетичната и потенциалната енергия са разделени на максималната потенциална енергия 2mgb.
Принципът на запазване на енергията гласи, че сумата на кинетичната енергия и потенциалната енергия е постоянна. И така, кинетичната енергия е максимална, когато потенциалната енергия е минимална (когато махалото преминава през стабилното равновесно положение), а кинетичната енергия е минимална (нула), когато махалото достигне максималното отклонение.
Във фазовата диаграма представяме ъгловата скорост w (или ъгловия момент I0W ) като функция от ъгловото изместване q .
Ако движението на физическа система е периодично, системата се връща в същото състояние след пълен цикъл. Представянето на неговата траектория във фазовото пространство е затворена крива.
За да се получи уравнението на този път, е достатъчно да се напише принципът за запазване на енергията
За дадена обща енергия И, това уравнение свързва ъгловата скорост w с ъгловото изместване q .
Наблюдаваме, че траекторията във фазовото пространство е симетрична спрямо вертикалната ос w (на ъгловата скорост). Тази симетрия означава, че движението на махалото е същото като по посока на часовниковата стрелка. Могат да възникнат два случая:
Трептения
Че общата енергия И на махалото е по-малко от максималната стойност на енергийната мощност (И Какво 0 и - q 0.
Можем да изчислим тази амплитуда, като поставим w = 0 на принципа на запазване на енергията.
И= 2mgb(1-cos Какво 0)
Пример: be и= 0,5 (енергия в единици с максимална потенциална енергия), тогава q 0 = p/2 = 90е. Да и= 0,1, тогава q 0 =36.9є
Ако амплитудата е малка, махалото описва просто хармонично движение и траекторията във фазовото пространство се приближава до елипса.
Знаменателите на този последен израз ни дават квадратите на полуосите на елипсата. Хоризонталната полуос (максимална амплитуда) е равна на
С увеличаването на енергията траекторията във фазовото пространство се отклонява от елиптичната форма и трептенето вече не е хармонично. Тъй като махалото прекарва много повече време в близост до максималното си отклонение от 0, траекторията във фазовото пространство става по-остра в левия и десния край и по-плоска отгоре и отдолу.
Въртения
Когато общата енергия И на махалото е по-голяма от максималната стойност на потенциалната енергия (И> 2mgb) О, добре (и> 1), махалото прави пълни завои.
Ротационното движение не е равномерно, скоростта е максимална, когато преминава през стабилното равновесно положение и е минимална, когато преминава през обърнатото положение на махалото. Ъгловото положение на махалото се увеличава непрекъснато и ъгловата скорост винаги е положителна (ако въртенето е обратно на часовниковата стрелка).
Махалото повтаря същото движение, когато ъгловото му положение q се увеличи с 2 p, 4 p и т.н. За да опишем това движение във фазовото пространство, е достатъчно да разгледаме частта от споменатото пространство между - p и p. Точката, която представлява положението и ъгловата скорост на махалото във фазовото пространство напуска тази област отдясно и влиза отляво.
Период на махалото
От уравнението за запазване на енергията решаваме за ъгловата скорост ω махало
Времето, необходимо на махалото да се движи между позициите θ Y. θ+dθ е
Срокът P е
Аплетът по-долу изчислява коефициента P/P0 когато се въведе енергията и> 1 от махалото, решавайки интеграла, определен от числената процедура на Симпсън.
Разделителна пътека
Когато общата енергия на махалото И= 2mgb, (и= 1) ние сме в граничния случай. Траекторията на представителната точка във фазовото пространство е маркирана в червено в долната дясна част на аплета и се нарича разделител.
поставяне И= 2mgb В принципа на запазване на енергията получаваме уравнението на сепаратрисата
Сепаратрисата разделя фазовото пространство на области, които съответстват на два различни типа движение.
Когато махалото достигне положение q = - p или q = p, ъгловата му скорост w =0, махалото е в нестабилно състояние на равновесие, в така нареченото обърнато положение. Малко изместване в едната или другата посока кара махалото да трепне с амплитуда, много близка до p. И малко натискане го описва въртеливо движение. Както виждаме в следващата таблица, махалото прекарва много време в близост до обърнатото положение и неговият период P става безкраен за енергията И= 2mgb (и= 1).
| Ъгъл | месечен цикъл P/P0 |
| 179 | 3.91 |
| 179,5 | 4.34 |
| 179,9 | 5.36 |
| 179,99 | 6.41 |
Дейности
Въвежда се стойността на общата енергия и в контролата за редактиране със заглавие Енергия. Тази стойност е коефициентът между общата енергия на махалото И и максималната потенциална енергия 2mgb.
Натиснете бутона със заглавие Започва.
Движението на представителната точка се наблюдава в пространството на фазите и формата на траекторията, която тя описва.
В горната дясна част на аплета можем да видим как кинетичната енергия (дебела синя линия) и потенциалната енергия (червена) се променят с позицията q на махалото.
Препратки
Бутиков. Д. Твърдото махало - античен, но вечнозелен физически модел. Eur. J. Phys. 20 (1999) стр. 429-441.
Молина М. I., Прости линеаризации на простото махало за всяка амплитуда. Учителят по физика, том 35, ноември 1997 г., стр. 489-490
Кид Р. Б. Фог С. Л., Проста формула за периода на махалото с голям ъгъл. Учителят по физика том 40, февруари 2002 г., стр. 81-83
Просо L. E., Периодът на махалото с голям ъгъл. Учителят по физика, том 41, март 2003 г., стр. 162-163
Лима Ф.М. С., Арун П., Точна формула за периода на обикновено махало, осцилиращо извън режима на малък ъгъл. Am. J. Phys. 74 (10) октомври 2006 г., стр. 892-895.
Puig Adam P., Интегрално смятане. Редакционна Biblioteca Matemбtica 1972, страница 97
Дължина на елипса.
Елипсата се характеризира със своята полу-голяма ос да се и нейната полумаловажна ос б.
Уравнението на елипса е
Дължината на малка дъга на крива е,
Дължината на периметъра на елипсата е четири пъти по-голяма от дължината на частта от елипсата в квадрант.
Промяна на променливата x = aсенθ, dx = acosθ · dθ
Където и се нарича ексцентричност на елипсата. Този интеграл се нарича пълен елиптичен интеграл от втория вид.
° С е фокусното половин разстояние
Приблизителна формула за дължината на елипсата е
В интерактивната програма стойностите на полуосите се въвеждат по-долу да се Y. б на елипсата и програмата ни дава дължината L на елипсата.
Дейности
Полу-голямата ос на елипсата, действаща върху лентата за превъртане, озаглавена Полупроводникови основни а.
Полу-малката ос a на елипсата, действаща върху лентата за превъртане, озаглавена Полумаловажна ос b.
Натиснете бутона със заглавие Изчисли
Полу-малката ос б трябва да е по-малко или равно на полу-голямата ос да се, в противен случай програмата не продължава.
Сравнете резултата, получен от тази програма, която използва рутина, която изчислява пълния елиптичен интеграл от втория вид, с приблизителната формула, спомената в края на раздела.
Програмен код.
Елиптични интеграли от първия и втория вид
Адаптиран към езика Java на кода на език C, взет от Числени рецепти в C, Изкуството на научните изчисления. Специални функции. Глава 6є.